平行线的性质解题方法

平行线的性质解题方法

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时间:2018-01-18

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1、平行线的性质解题方法例析平行线的性质与平行线的判定不同,平行线的判定是由角的数量关系来确定线的位置关系,而平行线的性质则是由线的位置关系来确定角的数量关系,平行线的性质与判定是因果倒置的两种命题.对平行线的判定而言,两直线平行是结论,而对平行线的性质而言,两直线平行却是条件.已知两直线平行,由平行线得到角的关系是平行线的性质,包括:①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等;③两直线平行,同旁内角互补.平行线的性质是学习几何的重点与难点,它是研究平行线及直线平行的继续,是以后研究平移等内容

2、的基础,是”空间与图形”的重要组成部分.平行线性质的应用主要体现在以下三个方面:一是要求学生掌握平行线的三个性质,经过对比后,要求学生能够理解平行线的性质和判定的区别与联系;二是要求学生通过对实际问题的简单探究,训练并提高学生发现问题、分析问题、解决问题和逆向思维等方面的基本能力,要求学生能应用平行线的性质进行简单的推理论证;三是要求学生通过演练综合应用题,不仅能够区别平行线的性质和判定,而且能够灵活运用平行线的性质.下面笔者就针对有关平行线的性质应用问题举例谈谈解题方法,以期共同进步,教学相长.

3、例1:已知:如图,直线a∥b.求证:(1)∠1=∠6;(2)∠1+∠2=180°;(3)∠2+∠4+∠3+∠6=360°.证明:(1)∵a∥b(已知),∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等).又∵∠3=∠6(对顶角相等),∴∠1=∠6.(2)∵a∥b(已知),∴∠1=∠3(两直线平行,同位角相等).又∵∠5+∠3=180°(邻补角的定义),∴∠1+∠5=180°.(3)∵a∥b(已知),∴∠1=∠3,∠4=∠5(两直线平行,同位角相等),∴∠2=∠5(两直线平行,内错角相等).又∵∠5+∠3=18

4、0°,∠5+∠6=180°(邻补角的定义),∴∠2+∠4+∠3+∠6=(∠5+∠3)+(∠5+∠6)=180°+180°=360°.即:∠2+∠4+∠3+∠6=360°.解析:这里运用了平行线的性质:(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等,对顶角相等,以及临补角的定义和等量代换等性质.如果不能牢记这些基本知识,就很难进行推理论证,所以要把这些性质熟记在心,并注意把性质与判定区别开来,而且还要学会使用因果推理论证的方法.“因”就是条件,“果”就是结论.例2:如图,如果∠1=∠2,

5、∠c=∠d,那么∠a=∠f吗?为什么?分析:要使∠a=∠f,必须df∥ca,因为如果df∥ca,就有∠a=∠f,那么在什么情况下df∥ca呢?于是就会想到前面学过的平行线的判定定理,看看df和ca有没有平行的可能.根据已知条件可知,∠2和∠3互为对顶角,∠2=∠3,再由已知条件∠1=∠2可得∠1=∠3,而∠1和∠3是一对同位角,于是由平行线的判定定理可知bd∥ce(同位角相等,两直线平行),下面再根据平行线的性质“两直线平行,同位角相等”,即可得到∠4=∠c;又因为已知∠c=∠d,所以我们可以得到

6、∠4=∠d,于是可证明df∥ca,从而可进一步推出∠a=∠f.解:结论:∠a=∠f,道理如下:∵∠1=∠2(已知),∠2=∠3(对顶角相等).∴∠1=∠3.∴bd∥ce(同位角相等,两直线平行).∴∠4=∠c(两直线平行,同位角相等).又∵∠c=∠d,∴∠4=∠d,∴df∥ca(内错角相等,两直线平行).∴∠a=∠f(两直线平行,内错角相等).例3:如图,在△abc中,be⊥ac于e,df⊥ac于f,bc∥ed,be是∠abc的平分线,那么∠bed=∠adf吗?分析:由于be⊥ac于e,df⊥ac

7、于f,所以∠afd=∠aeb=90°,根据平行线的判定定理可知:df∥be,根据平行线的性质定理可知:∠adf=∠abe,(两直线平行,同位角相等),∠bed=∠fde(两直线平行,内错角相等);再由已知条件bc∥ed,可知∠ade=∠abc(两直线平行,同位角相等),∠bed=∠ebc(两直线平行,内错角相等);be是∠abc的平分线,∠abe=∠ebc(平分线的性质),所以可推出∠cbe=∠fde,∠adf=∠fde,于是可知∠bed=∠fde=∠adf,即:∠bed=∠adf.解:结论:∠b

8、ed=∠adf,道理如下:∵be⊥ac于e,df⊥ac于f,∴∠afd=∠aeb=90°(垂直的定义).∴df∥be(同位角相等,两直线平行).∴∠adf=∠abe(两直线平行,同位角相等),∠bed=∠fde(两直线平行,内错角相等).又∵bc∥ed(已知),∴∠ade=∠abc(两直线平行,同位角相等),∠bed=∠ebc(两直线平行,内错角相等).∵be是∠abc的平分线,∴∠abe=∠ebc(平分线的性质),∴∠bed=∠cbe=∠fde,∠fde=∠adf=∠adf(等量

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