具有三种棱长的四面体种类探索

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1、具有三种棱长的四面体种类探索蔡鼎尧（B01151128）指导老师：林磊【摘要】本文由1999年的一道高考填空题引入，探索了具有三种棱长的四面体种类。文中就3种棱长的个数分类讨论了三种棱长所构成的四面体的种类，且在各个分类下分别讨论构成四面体的条件，并研究了普遍的四面体体积公式以及各个分类下的四面体体积公式。【关键词】四面体，三种棱长，体积在1999年的高考题中有一道填空题：“若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是_________（只需写出一个可能的值）”。文[1]已经完美解决了由这道题拓展出的“具有两种棱长的四面体的种类”问题

2、。本文尝试讨论一下“具有三种棱长的四面体”的问题。§1.四面体种类的探索根据三种不同棱长a、b、c的棱的数量，可以分为三大类（其中a、b互不相等）。一、有1根棱长为a，一根棱长为b，4根棱长为c的情况：在这种情况下，可以分为以下两小类（ⅰ）棱长为a和棱长为b的两根棱异面。如图（1），其中=b，=a，其余棱长均为c。图（1）第17页共17页因为△ABC与△APC是可构造的，所以a,。下面证明对于a∈，是成立的一个充要条件。必要性证明：a∈，对于任一已确定的a∈和任一确定的c，实际上已经确定了四面体P-ABC的两个面：△ABC以及△PBC。而=b，因为

3、可以构成，所以由△ABC和△PBC所夹的二面角∈，，又因为=为固定的值，所以=b是的一个单调增函数，b=f(),∈。f=2=（如图（2）），f(π)=2=2，f(0)=0。所以。图（2）图（3）充分性证明：因为a∈，所以△ABC和△PBC都存在且共边BC（如图（3））。取BC中点O，连接AO、PO，因为△PBC和△ABC都是等腰三角形，又因为PB=AB=PC=AC，且共边BC，所以ABC≌△PBC，所以,都满足构成△PAO，和△PAC的条件。又因为B、O、C在同一线段BC上且不是重合的点，所以四面体P-ABC是可构造的。（ⅱ）棱长为a和棱长为b的两

4、根棱共面。对于这种情况我们这里只进行了定性分析。第17页共17页图（4）我们猜测的充要条件是：若（其中=b，，====c）可以构成，则以点C作为球心，===c作为半径的半球；△ABC在半球的底面上，另一个点P一定在这个半球上（底面除外）（如图（4））。必要性证明：若符合要求的P-ABC存在，即====c，，=a。以点C为球心，作如前面要求的半球。则因为=半径c，所以显然P点在除底面外的半球上。充分性证明：以点C为球心作如前面要求的半球。点A和点B在半球底面圆C上，任取半球除底面外的一点P，连接PA，PB，PC。因为等边△ABC存在，所以P与△ABC

5、不在同一平面，且连接了PA，PB，PC，所以存在四面体P-ABC。在此四面体中，=b，=a，====c，所以符合要求的四面体P-ABC存在，证毕。二、有1根棱长为a，2根棱长为b，3根棱长为c的情况：在这种情况下，可以分为以下四小类。图（5）第17页共17页（ⅰ）3根棱长为c的棱共面（如图（5））。取△PAB分析，因为△PAB是等腰三角形，其中两腰==b，底=c，所以我们据此可以推出b>。对于给定c，，当且仅当时，符合要求的四面体P-ABC存在。图（6）必要性证明：证明方法类似前面—（ⅰ）。对于，因为c已确定，对于任取一定b，所以四面体中的两个面△

6、PAB和△CAB已确定。的取值范围的确定取决于△PAB和△CAB所在平面所夹的两角β的值，即=a=。a是∈的单调增函数（在前一（ⅰ）中已经说明）。并且可以得到，，。。所以。充分性证明：对于给定C，b>,使得△POC存在，△PAC和△PBC也存在。因为△PAB、△ACB存在，△POC、△PAC和△PBC也存在，且点A、O、B在同一线段AB上，所以存在四面体P-ABC，证毕。（ⅱ）3根棱长为c的棱共点（不妨放在点P）。第17页共17页图（7）图（8）对于这种情况，我们也只进行了定性的讨论。构建如图（8），以P为球心，===c为半径的半球，充要条件是：当

7、△CAB是以∣AC∣=∣BC∣=b为腰，不过球心P的球内接等腰三角形时，符合要求的四面体P-ABC存在。必要性证明：任取一符合条件的四面体P-ABC，把顶点P放在前面构造的半球中。因为===c，所以A、B、C三点都在半球上。又因为，所以△CAB是半球的内接等腰三角形。充分性证明：△CAB是半球的内接等腰三角形，且，，因为P是球心，所以。又因为P不在△CAB所在平面，所以存在，且且，，所以存在符合要求的四面体P-ABC。（ⅲ）在中，，，（如图（9）a）。图（9）a第17页共17页（ⅳ）在四面体P-ABC中，，，（如图（9）b）。图（9）b在这种两情况

8、下讨论四面体存在的充要条件比较困难，但找到一些特殊的充分必要条件还是可以的。三、棱长为a、b、c的棱各为2根的情况：在这种