例谈共点、共线、共面问题

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1、例谈共点、共线、共面、异面问题一、共线问题证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上．1．如图1，正方体中，与截面交点，交点，求证：三点共线．证明：连结，平面，且平面，是平面与平面的公共点．又平面．平面．也是平面与平面的公共点．是平面与平面的交线．为与截面的交点，平面平面，即也是两平面的公共点．，即三点共线．2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，D

2、C分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）． 分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线． 证明∵AB//CD，AB，CD确定一个平面β． 又∵AB∩α＝E，ABβ，Eα，Eβ，  即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线． 点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．二

3、、共点问题证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上．1.如图2，已知空间四边形分别是的中点，分别是上的点，且，求证：相交于同一点．3错解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,又,GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：分别是的中点，，且．又，，且．，且．四边形是梯形，其两腰必相交，设两腰相交于一点，平面平面，平面平面

4、，又平面平面．故相交于同一点．2.如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，共点（相交于一点）． 分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰． ∴AB，CD必定相交于一点， 设AB∩CD＝M． 又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β． ∴M∈α∩β． 又∵α∩β＝，∴M∈， 即AB，CD，共点． 点 评：证明多条

5、直线共点时，与证明多点共线是一样的．三、共面问题证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：①根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；②分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合．1.如图3，设分别为正方体的棱的中点，求证：共面．3证明：如图3，连结．分别为的中点，．．分别为的中点，．四边形为平行四边形．．．因此，直线可确定一个平面．同理，由可知，直线确定一个平面．过两条相交直线有且只有一个平面，与重合，即．同理可证．因此，共面．2.已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，

6、d共面． 分析：弄清楚四条直线不共点且两两相交的含义：四条直线不共点，包括有三条直线共点的情况；两两相交是指任何两条直线都相交．在此基础上，根据平面的性质，确定一个平面，再证明所有的直线都在这个平面内．证明1º若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点 A  ∴直线d和A确定一个平面α．又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，c，d在同一平面α内．2º当四条直线中任何三条都不共点时，如图．∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b

7、确定一个平面α．设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α．又∵H，K∈c，∴cα．同理可证dα．∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．点 评：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．四、证明异面直线1．如图正四面体中，D、E是棱PC上不重合的两点；F、H分别是棱PA、PB上的点，且与P点不重合．求证：EF和DH是异面直线．3