立体几何共线、共点、共面问题(教师版)

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1、立体几何中的共点、共线、共面问题一、共线问题例1.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).例2.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.例3.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。1．如图1，正方体中，与截面交点，交点，求证：

2、三点共线．证明：连结，平面，且平面，是平面与平面的公共点．又平面．平面．也是平面与平面的公共点．是平面与平面的交线．为与截面的交点，平面平面，即也是两平面的公共点．，即三点共线．2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线（在同一条直线上）． 分析：先确定一个平面，然后证明相关直线在这个平面内，最后证明四点共线． 证明∵AB//CD，AB，CD确定一个平面β． 又∵AB∩α＝E，ABβ，Eα，Eβ，  即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．∵两个

3、平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线． 点 评：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，先证明这些点都是某两平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．二、共面问题1.如图3，设分别为正方体的棱的中点，求证：共面．证明：如图3，连结．分别为的中点，．．分别为的中点，．四边形为平行四边形．．．因此，直线可确定一个平面．同理，由可知，直线确定一个平面．过两条相交直线有且只有一个平面，与重合，即．同理可证．因此，共面．例4.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n

4、共面.例5.证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内例6.已知：A1、B1、C1和A2、B2、C2分别是两条异面直线l1和l2上的任意三点，M、N、R、T分别是A1A2、B1A2、B1B2、C1C2的中点.求证：M、N、R、T四点共面.例7.在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足＝＝＝＝k.(1)求证：M、N、P、Q共面.(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)三、共点问题例8.三个平面

5、两两相交得三条直线，求证：这三条直线相交于同一点或两两平行.1.如图2，已知空间四边形分别是的中点，分别是上的点，且，求证：相交于同一点．错解：证明：、F分别是AB,AD的中点,∥BD,EF=BD,又,GH∥BD,GH=BD,四边形EFGH是梯形，设两腰EG,FH相交于一点T,,F分别是AD.AC与FH交于一点.直线EG,FH,AC相交于一点正解：证明：分别是的中点，，且．又，，且．，且．四边形是梯形，其两腰必相交，设两腰相交于一点，平面平面，平面平面，又平面平面．故相交于同一点．2.如图，已知平面α，β，且α∩β＝．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：A

6、B，CD，共点（相交于一点）． 分析：AB，CD是梯形ABCD的两条腰，必定相交于一点M，只要证明M在上，而是两个平面α，β的交线，因此，只要证明M∈α，且M∈β即可．证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰． ∴AB，CD必定相交于一点， 设AB∩CD＝M． 又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β． ∴M∈α∩β． 又∵α∩β＝，∴M∈， 即AB，CD，共点． 点 评：证明多条直线共点时，与证明多点共线是一样的．1、(1)证明：∵AA1∩BB1＝O,∴AA1、BB1确定平面BAO，∵A、A1、B、B1都在平面ABO内，∴AB平面ABO；A1

7、B1平面ABO.同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.2证明：如图，设AB∩A1B1＝P；AC∩A1C1＝R；∴面ABC∩面A1B1C1＝PR.∵BC面ABC；B1C1面A1B1C1，且BC∩B1C1＝Q∴Q∈PR,即P、R、Q在同一直线上.3解析：∵A、B、C是不在同一直线上的三点∴过A、B、C有一个平面又4解析：证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面