共点、共线、共面问题教师版.doc

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1、共点、共线、共面问题总结(教师版)【问题一】共点问题基本思路：两条直线交于一点，然后证明交点在其它直线上1、空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．证明：∵l1⊂β，l2⊂β，l1l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．2．如图，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.求证：EH、FG、BD三线共点．【证明】　∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈

2、平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈平面ABD∩平面BCD，∴O∈BD，EH、FG、BD三线共点．3、已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝＝，求证：直线FE，GH，AC交于一点．证明：∵E，H分别是边AB，AD的中点，∴EH∥BD.又∵＝＝，∴FG∥BD，∴EH∥FG，且EH≠FG，故四边形EFGH是梯形，∴EF，HG相交．设EF∩HG＝K，∵K∈EF，EF⊂平面ABC，∴K∈平面ABC，同理K∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴K∈AC，故直线FE，GH，AC交于一点．【问题二】共线问题基本思路：寻找一条特殊

3、线，证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线，然后证明其它点在这条直线上3、已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.证明：如图，∵A、B、C是不在同一直线上的三点,∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α=P，且ABβ,∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,同理可证：Q∈l,R∈l,∴P、Q、R三点共线.4．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H

4、∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上【问题三】四点共面问题基本思路：①证明四个点在两条平行线上②证明四个点在两条相交线上③证明三个点共线④三个不共线的点确定一个平面，证明第四个点在这个平面内5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：E，C，D1，F四点共面．证明：延长D1F，设D1F∩DA＝O，延长CE，设CE∩DA＝O1.∵F为AA1的中点，∴OA＝AD.同理O1A＝AD，∴O与O1重合，∴D1F∩CE＝O，∴E，C，D1，F四点共面．【问题四】直线

5、共面问题基本思路：两条直线确定一个平面，然后证明其它直线在这个平面内6、如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一平面α，又l2∩l3＝B，l1∩l3＝C，∴B∈l2，C∈l1，∴B∈α，C∈α，∴l3⊂α，∴直线l1，l2，l3在同一平面内．7．已知直线b∥c，且直线a与直线b，c都相交，求证：直线a，b，c共面．证明：∵b∥c，∴直线b，c可以确定一个平面α.设a∩b＝A，a∩c＝B，则A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，即a⊂α，故直线a，b，c共面．8、求证：两两相交且不共点的四条直线在

6、同一平面内.（注意分两类）证明：如图，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,bα.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,即a、b、c、d在同一平面内.9、直线AB，CD，EF两两平行，且分别与直线l相交于A，C，E，求证：AB，CD，EF三条直线在同一个平面内.ACDEFlαB【问题五】综合问题10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三

7、点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．证明：　(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝A1B．∴D1F，