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时间：2022-01-09
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1、§5孤立奇点若在处不解析,但是在的一个去心邻域内解析,则称为的孤立奇点.若在内解析,则称为的孤立奇点.例如的孤立奇点:存在正数使的奇点:原点和负实轴上的所有点，不是的孤立奇点1孤立奇点的分类:在内的洛朗级数负幂项，有无穷多个为的本性奇点负幂项，没有为的可去奇点有有限多个负幂项，为的极点在内的洛朗级数正幂项，有无穷多个为的本性奇点正幂项，没有为的可去奇点有有限多个正幂项，为的极点定理存在，为的可去奇点为的极点不存在，不为为的本性奇点设2证明不存在，不为证当时当时动点沿实轴趋于动点沿正虚轴趋于结论正确是本性奇点3不存在，不为因为所以本性奇点一、若在
2、内的洛朗级数负幂项，有无穷多个则为的本性奇点。例如是它的本性奇点.重要结论的本性奇点为本性奇点若在内的洛朗级数正幂项，有无穷多个则为的本性奇点例如是的奇点本性奇点,是它的4可去奇点二、若在内的洛朗级数负幂项，没有则为的可去奇点。例如是可去奇点是可去奇点是可去奇点或若存在，则为的可去奇点5如果在内的洛朗级数正幂项，没有则为的可去奇点.例如的可去奇点是86页15(6)的孤立奇点为其中为本性奇点为可去奇点或若存在，则为的可去奇点6(13)本性奇点。是它的可去奇点.是它的7(9)是它的本性奇点.是它的可去奇点.(12)是它的本性奇点.是它的极点不是它的
3、孤立奇点.(7)的孤立奇点:都是它的本性奇点.8极点三、若在内的洛朗级数负幂项，有有限多个则为的极点例如的孤立奇点:当时是它的极点.为的极点9极点的阶即如果的最高幂为则称为的m阶极点其中中括号里的幂级数收敛,其和函数在解析,且综上所述如果是的m阶极点,则存在函数在解析,且使洛朗级数中关于在某个邻域内反过来也正确10定理是的m阶极点存在函数在解析,且使推论如果函数在解析,且则是的m阶极点例如有五阶极点有一阶极点三阶极点有二阶极点四阶极点有二阶极点一阶极点11阶数的运算设为的m阶零点、的n阶零点则为的m+n阶零点,为的(m-n)阶为的可去奇点,处解
4、析,在零点,为极点,的(n-m)阶例如的奇点它的是其中它的本性奇点.是?阶极点,二阶极点,12例1函数如果是极点,指出它的阶.在扩充平面内有什么类型的奇点？解在扩充平面内的所有奇点为所以是的二阶极点是的可去奇点是的三阶极点的孤立奇点.不是是的一阶零点是的三阶零点是的三阶零点其中13例2下列函数有什么奇点？如果是极点,指出它的阶.在上的奇点是它的二阶极点是它的一阶极点不是其中它的孤立奇点.的奇点:其中是它的一阶极点为整数不是它的孤立奇点.14的奇点是原函数的三阶极点是原函数的一阶极点不是它的孤立奇点.15(n为正整数)解是它的一阶极点在内解析,为
5、的孤立奇点.83页第3行定理4.25’为的m阶极点在的正幂项部分为为的n阶极点16作业86页习题415单数17
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