4.1孤立奇点例题

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1、6.将下列各函数在制定的圆环域内展开成Laurent级数。z+1(1),0<

2、

3、<1;1<

4、

5、<+zz∞2zz(−1)1(3),0<

6、

7、<1,0<

8、-1

9、<1zz2zz(1−)z+1(1),0<

10、

11、<1;1<

12、

13、<+zz∞2zz(−1)【解】在0<

14、z

15、<1环域内∞∞z+11111kk=+=−−∑∑zz222zz(−−−1)zz(1)zz(1)zkk=00z=∞∞∞k−1k−2kk−−12=−−=∑∑∑zz−+()zzkk=00=k=01在1<

16、z

17、<+∞环域内，01<

18、zzz∞−−kk23−−=∑()zz+k=01(3),0<

19、

20、<1,0<

21、-1

22、<1zz2zz(1−)'∞111k【解】在0<

23、z

24、<1环域内==∑z2(1−−zz)11−zk=0∞∞11kk−−11∴==∑∑kzkz2zzz(1−)kk=01=在0<

25、z-1

26、<1环域内∞1111k==∑(1−z)222zz(1−)1(1−−zz)(1−)(1−z)k=0∞∞k−−22kk=−=−−∑∑(1zz)(1)(1)kk=00=8.求出下列函数的奇点，并确定它们的类别（对于极点要指出它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论。z−1z1(1)(7)cose22zz(+4)zz−1【解】（1）明显

27、z=0和z=±2i为22的奇点zz(+4)z−1对于z=0lim22=−∞为极点z→0zz(+4)22z−111zzz3Laurent展开=−++−−+22zz(+4)16z163232256一阶极点z−1对于z=±2ilim=∞为极点22z→0zz(+4)z−1z−1zz−1=在z=±2i是解析的且不为02222zz(++4)(z4)z因此=±2i是二阶极点1−141z−−1ttt(1)对于z=∞，令t=则==(224)11(4221)zzz++2t(+4)2tt4tt(1−)考察t=0处的性质22(4t+1)4tt(1−)lim=022t→0(4t+1)因此无穷远点为可去奇点z1(7)c

28、osezz1明显z=0是奇点limecos不存在因此z=0为本性奇点z→0z1对于z=∞，令t=z1limettcos不存在因此z=∞也是本性奇点t→0