自考第4章5孤立奇点1.ppt

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1、§5孤立奇点如果函数在处不解析,但是在的一个去心邻域内处处解析,则称为的孤立奇点.即在的一个邻域内,例如只有是的奇点.是的孤立奇点.都是的孤立奇点.是的奇点.但不是因为当时所以有无穷多个奇点是的孤立奇点.0的任何邻域内该函数有无穷多个奇点它的孤立奇点.1是的奇点.但不是因为当时所以有无穷多个奇点0的任何邻域内该函数有是的奇点.但不是因为当时无穷多个奇点它的孤立奇点.它的孤立奇点.2是的孤立奇点.孤立奇点的分类:设在内处处解析,内的洛朗级数为：为的可去奇点在的负幂项部分为零存在为的极点在的负幂项部分只有有限项为的本性奇点在的负幂项部分有无限多项不存在且不等于∞是它的本性奇点.3函数在∞的性态若在

2、内解析,则点称为的孤立奇点.其洛朗级数为：为的可去奇点在的正幂项部分为零存在为的极点在的正幂项部分只有有限项为的本性奇点在的正幂项部分有无限多项不存在且不等于∞是的可去奇点.是的本性奇点.4证明当z位于负实轴上且接近于原点时当z位于虚轴上且接近于原点时位于单位圆上时在单位圆上逆时针旋转时在单位圆上顺时针旋转不存在且不等于∞因此不存在且不等于∞是它的本性奇点.是它的可去奇点.51.本性奇点可去奇点的极限判别法存在若则是的可去奇点.若不存在且不等于∞,则是的本性奇点.86页15(6)的奇点为因为不存在且不等于∞,所以为本性奇点因为=0存在，所以是的可去奇点.(8)本性奇点,是它的可去奇点.是它的6

3、(13)本性奇点,是它的可去奇点.是它的(7)是它的本性奇点.是它的本性奇点.(9)是它的本性奇点.是它的可去奇点.不存在且不等于∞,7（11）是它的可去奇点.不是的孤立奇点.在—1左边的负实轴不解析(12)是它的本性奇点.是它的极点不是它的孤立奇点.19页19题82.极点为的极点在的负幂项部分只有有限项即如果洛朗级数中关于的最高幂为则称为的m阶极点其中中括号里的幂级数在内收敛,设其和函数为则在内解析,且综上所述如果是的m阶极点,则存在函数在内解析,且使反过来也正确9极点的阶设是的m阶极点的孤立奇点.则是存在函数在内解析,且使推论如果函数在内解析,且则是的m阶极点例如有五阶极点有一阶极点三阶极

4、点有二阶极点四阶极点有二阶极点一阶极点10阶数的运算设为的m阶零点、的n阶零点则为的m+n阶零点,为的(m-n)阶零点,为的可去奇点,为的(n-m)阶极点,处解析,在11例1函数如果是极点,指出它的阶.在扩充平面内有什么类型的奇点？解在扩充平面内的所有奇点为所以是的二阶极点是的可去奇点是的三阶极点的孤立奇点.不是是的一阶零点是的三阶零点是的三阶零点其中12(n为正整数)解是它的一阶极点在内解析,为的孤立奇点.为的n阶极点83页第3行定理4.25’为的m阶极点在的正幂项部分为例2下列函数有什么奇点？如果是极点,指出它的阶.在上13的奇点是它的二阶极点是它的一阶极点不是其中它的孤立奇点.的奇点:其

5、中是它的一阶极点为整数不是它的孤立奇点.的奇点是原函数的三阶极点是原函数的一阶极点不是它的孤立奇点.14的奇点它的二阶极点,是其中它的本性奇点.是的奇点其中它的一阶极点,是它的三阶极点,是它的可去奇点.是15作业86页习题415单数16