边际分析、弹性分析与经济问题的最优化

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7-8边际分析、弹性分析与经济问题最优化1 第七章第八节一、边际分析二、弹性分析三、经济问题的最优化边际分析、弹性分析与经济问题的最优化2 一、边际分析回忆一元函数:y=f(x)在x=x0处的边际为边际的经济意义:当时,x改变一个单位,y改变个单位.边际的实质:反映了一种经济变量随另一种经济变量变化的快慢程度.现实生活中，经常需要考虑一种经济变量随多个经济变量变化的情况。例如,某种品牌的电视机的销售情况，除了受本品牌电视机的价格影响外,还受其他品牌同类型电视机的价格的影响。边际的概念也可推广到多元函数的情形。3 一、边际分析回忆一元函数:y=f(x)在x=x0处的边际为二元函数的偏导数和分别称为在点(x0,y0)关于和的边际。1.定义：边际的经济意义：表示在(x0,y0)处，当y=y0保持不变，x每改变一个单位，函数z=f(x,y)改变个单位表示在(x0,y0)处，当x=x0保持不变,y每改变一个单位，函数z=f(x,y)改变个单位4 例1设Cobb-Douglas生产函数为P(K,L)=20K0.3L0.7。其中P表示产量、K表示资本、L表示劳动。求解：P’K(1,1)及P’L(1,1)，并解释其含义。P’K(1,1)=6(1)-0.7(1)0.7=6P’K=6K-0.7L0.7，含义:P’K=6表示当劳动保持1个单位不变，且当资本为1个单位时，每增加一单位的资本，产量约增加6单位。称为资本的边际生产量。P,L=14K0.3L-0.3，P’L(1,1)=14(1)0.3(1)-0.3=14含义:P’L=14表示当资本保持1个单位不变，且当劳动为一个单位时，每增加一单位的劳动，产量约增加14单位。称为劳动的边际生产量。5 例2已知某企业雇佣熟练工x人，非熟练工y人，日产量由二元函数决定。已知该企业雇佣熟练工20人，非熟练工50人，若增加熟练工1人，问产量增加多少？解：根据题意，必须求得因为,所以,日产大约会增加1800单位。实际上，日产量增加的真实值为用來逼近是恰当的。6 2.边际需求设两种相关商品甲和乙的需求函数为：其中为甲，乙商品需求量，分别表示甲和乙表示乙商品的价格保持不变的情况下，甲商品的价格变化时，甲商品需求量的变化率，的价格.需求量对价格p1,p2的偏导数为边际需求函数：称其为甲商品关于自身价格的边际需求；7 表示甲商品的价格保持不变的情况下，称其为甲商品关于相关价格的边际需求；乙商品的价格变化时，甲商品需求量的变化率，的边际解释可与的边际解释类似.8 两种商品彼此关系可分为为替代型还是互补型。替代型：一种商品的需求增加时伴随的结果是另一种商品需求的减少。如国产汽车与进口汽车、猪肉和鸡蛋等。互补型：一种商品的需求增加时，另一种商品的需求也跟着增加。例如高尔夫球杆与高尔夫球鞋、CD机和光盘等。3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释两种商品之间的关系:9 假设有两种商品A与B。p1与p2分别表示商品A与B每单位的价格。函数Q1（p1,p2）表示商品A的需求函数，函数Q2（p1,p2）表示商品B的需求函数。则函数恒有下列关系：即：商品A的价格p1上升，则商品A的需求量会下降。商品B的价格p2上升，则商品B的需求量会下降。3、利用偏导数对两种商品之间性质进行解释10 两商品在价格(p1,p2)处为互补型表示当商品B的价格上升时，商品A的需求量减少；当A的价格上升时，商品B的需求量减少。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少。两商品在价格(p1,p2)处为替代型表示当商品B的价格上升时，商品A的需求量增加；当A的价格上升时，商品B的需求量增加。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加。11 例3两种商品A与B，当其价格分别为x与y时的需求函数为f(x,y)=300-6x2+10y2(A的需求函数)g(x,y)=600+6x-2y2(B的需求函数)试问这两种商品为替代型还是互补型？解：所以，两种商品为替代型关系。12 二、弹性分析回忆一元函数:y=f(x)在x处的弹性为y=f(x)在x=x0处的弹性为弹性的经济意义：表示在x=x0处,当x改变1时,y=f(x)改变了弹性的概念也可推广到多元函数的情形。13 二、弹性分析回忆一元函数:y=f(x)在x=x0处的弹性为1.定义：二元函数在(x0,y0)处对x和y的弹性分别为14 二、弹性分析1.定义：二元函数在(x0,y0)处对x的弹性为弹性的经济意义：表示在(x0,y0)处，当y=y0保持不变时，x每改变1%，函数z=f(x,y)改变表示在(x0,y0)处，当x=x0保持不变时,y每改变1%，函数z=f(x,y)改变15 二、弹性分析1.定义：二元函数在(x0,y0)处对x的弹性为偏弹性函数的定义：称为在(x,y)处对x和y的偏弹性函数.16 假设有两种商品A与B。P1与P2分别表示商品A与B每单位的价格。函数Q1（P1,P2）表示商品A的需求函数，函数Q2（P1,P2）表示商品B的需求函数。称：为需求量对自身价格的直接价格偏弹性。称2、需求价格偏弹性为需求量对相关价格的交叉价格偏弹性。17 例4设某市场牛肉的需求函数为Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉价格P1＝10,相关商品猪肉的价格P2＝8.求(1)牛肉需求的价格偏弹性,(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性,(3)若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率.解:(1)牛肉需求的价格偏弹性为18 例4设某市场牛肉的需求函数为Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉价格P1＝10,相关商品猪肉的价格P2＝8.求(1)牛肉需求的价格偏弹性,(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性,(3)若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率.解:(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性为19 例4设某市场牛肉的需求函数为Q1＝4580-5P1+1000+1.5P2其中牛肉价格P1＝10,相关商品猪肉的价格P2＝8.求(1)牛肉需求的价格偏弹性,(2)牛肉需求的交叉价格偏弹性,(3)若猪肉价格增加10%,求牛肉需求量的变化率.解:3)由需求的交叉价格偏弹性,得即当相关商品猪肉的价格增加10%,而牛肉价格不变时,牛肉的市场需求量将增加0.02％．20 也可用偏弹性函数来描述两种商品彼此为替代型还是互补型。假设有两种商品A与B。p1与p2分别表示商品A与B每单位的价格。函数Q1（p1,p2）表示商品A的需求函数，函数Q2（p1,p2）表示商品B的需求函数。因为函数恒有下列关系：所以恒有：3、用需求价格偏弹性对两种商品之间性质进行解释21 若两商品在价格(p1,p2)处为替代型因为：则有：表示当商品A的价格不变，而商品B的价格上升时，商品A的需求量增加；当商品B的价格不变，而A的价格上升时，商品A的需求量增加。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的增加，两种产品是替代关系。22 若两商品在价格(p1,p2)处为互补型因为：则有：表示当商品A的价格不变，而商品B的价格上升时，商品A的需求量减少；当商品B的价格不变，而A的价格上升时，商品A的需求量减少。即一种商品需求的减少导致另一种商品需求的减少，两种产品是互补关系。23 小结：不同交叉弹性的值，能反映两种商品间的相关性，具体就是：当交叉弹性大于零时，两商品互为替代品；当交叉弹性小于零时，两商品为互补品；当交叉弹性等于零时，两商品为相互独立的商品。24 例5某种数码相机的销售量,除与它自身的价格有关外，还与彩色喷墨打印机的价格有关，具体为求时,(1)对的弹性;(2)对的交叉弹性。解(1)对的弹性为25 当时，(2)对的弹性为当时，26 三、经济问题的最优化例6：某企业生产两种商品的产量分别为x、y单位,利润函数为：L=64x-2x2+4xy-4y2+32y-14，求最大利润。解：由极值的必要条件解得唯一驻点(40,24).由可知,唯一驻点(40,24)为极大值点,亦即最大值点。最大值为：L(40,24)=165027 例7：某厂生产A、B两产品,产量分别为x和y(单位:千件),利润函数为L=6x-x2+16y-4y2-2(单位:万元);已知生产这两产品时,每千件消耗某原料2000公斤,现有该原料12000公斤,问两产品各生产多少,总利润最大？解：条件极值问题拉格朗日函数令解得唯一驻点：由实际意义可知,最大值为答：当A生产3.8千件,B生产2.2千件时,利润最大,最大利润为36.72万元。28 小结1.二元函数z=f(x,y)的边际定义：二元函数的偏导数和分别称为在点(x0,y0)关于和的边际。边际的经济意义：表示在(x0,y0)处，当y=y0保持不变，x每改变一个单位，函数z=f(x,y)改变个单位表示在(x0,y0)处，当x=x0保持不变,y每改变一个单位，函数z=f(x,y)改变个单位29 2.二元函数z=f(x,y)的弹性定义：二元函数在(x0,y0)处对x的弹性为弹性的经济意义：表示在(x0,y0)处，当y=y0保持不变时，x每改变1%，函数z=f(x,y)改变表示在(x0,y0)处，当x=x0保持不变时,y每改变1%，函数z=f(x,y)改变30 作业：P327：1(1),2,8复习第7章31