对二面角的平面角定义合理性的探究

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1、对二面角的平面角定义合理性的探究*谢林重庆复旦中学400016王跃辉重庆市渝中区教师进修学院4000151问题的提出人教A版教材《必修2》对二面角的平面角是这样定义的：“在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角．”并在定义旁边以思考题“的大小与点在上的位置有关吗？为什么？”的方式让学生通过探究知道这样定义的二面角的平面角具有唯一性，进而知道定义的合理性．然而，学生在探究中发现“当射线、与棱不垂直时，虽然、的作法不唯一，但是当射线、向同一个方向（或朝相反方向）倾斜时（如），的

2、大小与点在上的位置也是无关的．”于是，学生提出教材为什么要这样定义二面角的平面角呢？为了解决学生的这种疑问，许多教师对二面角的平面角的定义合理性进行了研究，具有代表性的看法有如下两种：文[1]认为教材的处理方式符合便于作出和便于计算的简洁、方便原则，文[2]认为这样定义的角具有最值性，并给出了如下结论：对于给定的二面角，若在半平面和内分别取射线、，使它们与棱所成角分别为，且，则有：（1）当时，与的大小关系不能确定；（2）如图1，当时，若、在面的同侧，则；（3）如图2，当时，若、在面的异侧，则.仔细分析文[1]、[2]可以发现，它们都是从

3、线线角的角度对定义合理性进行探究，笔者认为其合理性还可以从线面角的角度探究出最值性，并且用截面法给出的等价定义更能说明唯一性和确定性．为此，笔者将从以下两方面予以说明．2从线面角的角度探究如图3，过点作直线于，因为，，所以平面，所以，故平面，于是射线与平面所成的角是（或其补角）.当二面角为锐角时，射线与平面所成的角就是.*该探究系重庆市十二五规划课题《普通高中数学新课程下说题教学策略实验研究》的研究成果之一如图4，设二面角为锐角，则射线与平面所成的线面角就是二面角的平面角.如果在半平面内，过棱上任一点作不垂直于棱的射线，那么射线与平面所

4、成角是.因为，所以，故.因此，当二面角为锐角时，二面角的平面角是其中一个半平面内所有射线与另一个半面所在平面所成角中最大的一个.显然，当二面角为直角或钝角时，也满足这种最值性.以上探究实际上作出了棱的一个垂面，也是二面角的一个截面，并且该截面与两个半平面的交线所形成的线线角就是二面角的平面角.众所周知，截面对几何图形的认识有着重要意义，比如人们最早是从圆柱的斜截面中发现椭圆图形，从圆锥的截面中发现双曲线图形.如果我们从截面的角度来定义二面角的平面角，又会怎样呢？3从截面的角度探究如图5，过棱上任意一点作的垂面，则，，因为，所以且，故是二

5、面角的平面角.因为过直线上一点作该直线的垂面有且只有一个，且的大小不随垂面的平移而改变，所以由垂面得到的大小满足唯一性和确定性.因此，垂面法也可以给出二面角的平面角的定义，并且这种定义可以告诉学生二面角的平面角总是在棱的垂面中，于是学生在寻找二面角的平面角时更有方向性.如果所作的平面与棱不垂直（即与棱所成角为锐角），类似垂面的方式产生的可以用来度量二面角的大小吗？答案是否定的，因为这种方式得到的不具有唯一性和确定性.首先与棱成某一锐角的平面有多个（比如在正棱锥中，每个侧面与高所成角相等），于是得到的也会有多个，其次多个的大小是确定的吗？

6、显然不是，下面我们通过一个例子来说明.如图6，设圆柱的底面半径和高都为1，点是半圆弧的中点.在直二面角中，过点作与棱所成角为的平面有多个，其中的一个平面是面，且面面，面面，于是得到.由于三角形为正三角形，故.如图7，设圆弧和圆弧的中点分别为和，则平面和棱所成角也是.设，则面面，面面，于是得到，因为面，所以三角形是直角三角形，故.注意和都是用与棱成相同锐角的平面截同一个二面角所成“平面角”，然而.因此，用与棱成相同锐角的平面去截同一个二面角，这样的平面有多个，且得到的多个“平面角”可能不相等，从而这种方式无法度量二面角的大小.事实上，当射

7、线与棱不垂直时，等同于截面与棱成某一锐角.学生提出的“当射线、与棱不垂直时，的大小与点在上的位置也无关”，相当于与棱成锐角的截面上下平移时形成的的大小不改变.然而，与棱成同一锐角的截面还可以是由面以棱为轴旋转得到的平面，在旋转过程中产生的的大小会发生改变.在线线角的角度看来，学生的问题只能用最值性来解释要求射线与棱垂直的好处，从而说明教材的定义具有合理性.在截面等价定义的角度看来，两条与棱不垂直的射线形成的角不具有唯一性和确定性，自然不能叫做二面角的平面角.教材的定义中要求射线与棱垂直，等同于截面定义中要求截面与棱垂直.在教材定义中，垂

8、直棱的射线具有唯一性，在截面等价定义中垂面具有唯一性.教材以思考题的方式来说明的大小与点在上的位置无关，等同于截面定义中垂面上下平移不改二面角的平面角的大小，而且垂直棱的截面在以棱为轴旋转时截面不改变，于是