从几何公理系统的角度辨析“二面角的平面角”定义

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1、从几何公理系统的角度辨析“二面角的平面角”定义马霄昆摘要：从几何发展的公理化方法而言，一个公理系统满足三个条件:相容性、独立性、完备性。数学抽象的层次主要是直观描述和符号表达。空间几何中的二面角的平面角是对二面角的度量，它的定义经历了两次抽象，也满足公理的独立性特点，即度量标准的唯一性。关键词：公理化方法；抽象；内涵；外延；度量的唯一性；距离；角一、提出问题关于高中数学必修二中二面角的教学课标要求是这样的：通过修筑水坝、发射卫星等实例引出二面角的概念，使学生对二面角产生感性认识，继而通过二面角的直观图使学牛.对二面角有概括、理性的理解，并借此介绍了二面角的平面角的概念。

2、但是没有设计求二面角的大小问题，二面角的大小计算主要安排在选修内容“空间向量与立体几何”中，显然课标要求有两个侧重点：一是引入二面角的平面角是为度量二面角做准备；二是利用空间向量计算二面角的大小体现几何问题代数化的解决策略。在具体的教学中对二面角的平面角的定义设计思路不尽相同：课堂教学片断一：“如图1,规定不仅满足角度大小的确定性，而且作图方便，计算推理也简捷，因此这样规定二面角的大小是合理的，它符合定义的一般性规律……”课堂教学片断二：“第一种测量二面角的方法如图2,线线角的范围从0度到180度，第二种测量二面角的方法如图3,线线角范围不固定，取决于作的射线。第一种方

3、法中二面角的大小固定时两条垂直于棱的射线构成的的大小也是唯一的，而第二种方法的射线的取法不同，能使一个二面角有很多的角度，在实际问题中不好真正的去测量，所以使用第一种方法定义二面角的平面角……”上述两种处理方式留下的疑惑较多，比如对于第一种设计为什么这样规定二面角的平面角是合理的？定义的一般规律是什么？第二种设计对选择两种度量方法二者之一也比较草率，停留在直觉判断的层次上，没有点出本质的区别。下文从数学定义的特点及几何公理化方法的角度作一阐述。二、数学定义的一般规律“数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西，得到数学研究的对象。对于数学而言，线、角的定

4、义，不能作为存在而是作为关系。”在数学中每个定义都有非常明确的含义，必须区分定义的内涵与外延，定义的外延是适合定义的一切对象的全体。而定义的内涵是指表达该对象特征的一切属性的总和。在对事物抽象的过程中大概分两个层次,一是直观描述，二是符号表达，第一次抽象是有物理背景的，用自然语言表达的，这种抽象具体、直观、容易创造但也容易有反例。第二次抽象的特点是符号化，符号化使抽象更严谨。在抽象时要列举对象的属性，就是给对象下定义，正确的定义应当满足三个基本要求：1.定义过程要指出对象的基本属性；2.定义不能循环判断；3.定义是肯定判断的陈述句。二面角的平面角定义经历了两次抽象，第一

5、次从实例中抽象出二面角，属于直观描述。第二次是符号表达，若“，，则称为二面角的平面角。”从其内涵来看，二面角的平面角是两个属性的和：1.二面角（它属于几何图形而不是角）；2.两个面内垂直于棱的有公共点的射线构成的角。从外延来看，它是平面角的一种，并与二面角有隶属关系，二面角是对事物抽象的图形，它的定义就象“对数函数的图象、三棱锥的体积”一样。在具体的教学过程中应当经历两次抽象的过程。三、几何的公理化方法随着公元前三百年前的希腊数学家欧几里得的《几何原本》的诞生，不仅围绕“第五公设”的研究产生了黎曼几何、罗巴切夫斯基几何，而且产生了研究几何学的公理化方法。“数学公理化的目

6、的就是把一门数学表述为一个演绎系统，这个系统的出发点就是一组基本概念和公理。因此，如何引进基本概念并确立一组公理便成为运用公理化的关键，亦即这种认识方法的基本内容。”“既然基本概念是不加定义的概念，它们就必须是真正基本而无法用更原始、更简单的概念去界定的概念。换言之，基本概念是最原始、最简单的思想规定。”一个几何分支包含的公理是对基本概念相互关系的规定，所以必须满足三个条件：公理的相容性、相互独立性、完备性。在希而伯特的《几何学基础》中阐述的五组公理的前提下，直线和角成为欧氏几何的基本概念，那么度量直线上两点的长短和角的大小问题便迎运而生了，也就是距离和各类角的定义就成

7、为几何学中自然研究的问题。从下表可以看出距离和角在欧氏几何中的发展过程：种类定义两点间的距离两点之间线段最短，把线段的长度称为两点间的距离。点到直线的距离直线外一点到直线上的所有点构成的线段中，垂线段最短,垂线段的长度称为点到直线的距离。平行线间的距离平行线上的任意一点到另•一条直线的距离。异面直线间的距离两条异面直线之间的公垂线段的长度。线面之间的距离线面之间的公垂线段的长度。平行平面间的距离面面之间的垂线段的长度。表一：表二：种类定义平面角冇公共端点的两条射线围成的图形。异面直线的夹角平移后相交直线所成的不大于90度的角。线面角直线和