08.幻方(三)双偶数阶幻方的编排方法

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1、3、幻方（三）——双偶数阶幻方的编排方法奇数阶幻方我们已经会编排了，偶数阶幻方怎么编排呢？和奇数阶幻方的编排方法一样吗？为了便于讲解，我们把偶数分为两类：一类是4、8、12、16、……这样的偶数叫做双偶数（能连续两次被2整除），双偶数也就是4的倍数，因此双偶数可用4k表示（k是自然数）；另一类是6、10、14、18、……这样的偶数叫做单偶数（只能一次被2整除），单偶数可用4k＋2表示（k是自然数）。这一节先学习双偶数阶幻方的编排方法。一、中心对称交换法例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四

2、列）。【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格内，使每行、每列、两条对角线上的四个数的和都相等。先计算这个相等的和是多少？也就是前面学过的幻和：（1＋2＋3＋…＋15＋16）÷4＝34。再想办法将这十六个数排列成幻和是34的四阶幻方。①先把1～16按顺序填入4×4的方格中（如下图A）；我们把图A称为四阶自然方阵。这时可以发现，两条对角线上的四个数的和都恰好是34，其它每行、每列上四个数的和都不是34，因此，这两条对角线上的八个数都不动，作为四阶幻方两条对角线

3、上的数。②观察自然方阵（图A）中的第一列和第四列。第一列上四个数的和是1＋5＋9＋13＝28，比34少6；第四列上四个数的和是4＋8＋12＋16＝40，比34多6。为了使第一列和第四列上四个数的和分别是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即5和8，9与12）相互交换就可以了（图B）。同样地，为使第二、三列上的四个数的和也是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即2与3，14与15）相互交换就可以了（图C）。③再观察上图C的第一、第四行。第一行上四个数的和是1＋3＋2＋4＝10，比34少24；

4、第四行上四个数的和是13＋15＋14＋16＝58，比34多24。为了使第一行和第四行上四个数的和分别是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即2和14，3与15）相互交换就可以了。同样地，为使第二、三行上的四个数的和也是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即8与12，5与9）相互交换就可以了。交换后的结果见图D，这就是一个四阶幻方。这样编排太复杂了！能不能由四阶自然方阵直接得到四阶幻方？对比图A与图D可以发现：只要把图A中的2与15，3与14，5与12，8与9互相交换，就可以直接得到图D（见

5、下图）。那么，2与15，3与14，5与12，8与9是什么关系呢？不难看出，它们的位置是“对称”的。例如2在从上往下、从左往右数的第一行第二列，而15在从下往上、从右往左数的第一行第二列。又如，9在从上往下、从左往右数的第三行第一列，而8在从下往上、从右往左数的第三行第一列。我们把这样的两个数叫“中心对称数”，也就是说只要把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换就可以直接得到四阶幻方，把这种编排双偶数阶幻方的办法叫“中心对称交换法”。由例1可以看到，用“中心对称交换法”编排四阶幻方的主要步骤归纳如下

6、：①把1～16按顺序排成四阶自然方阵；②四阶自然方阵中对角线上的八个数不动，作为四阶幻方两条对角线上的数；③把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换。运用“中心对称交换法”不仅可以编排四阶幻方，而且可以编排任意的双偶数阶幻方。例2、用1～64这六十四个数编排一个八阶幻方（八行八列）。【分析与解答】编排步骤如下:①把1至64按顺序填入8×8的方格子中,排成八阶自然方阵；（见左下图）②把八阶自然方阵分成四个四阶自然方阵（左下图粗线条），每个四阶自然方阵分别画出对角线（图中有颜色的数字）；③每个四阶自然

7、方阵中对角线的数字都不动，把对角线以外的数字在八阶自然方阵中进行中心对称交换。这样就得到一个八阶幻方（见右下图）。二、环形平移补空法例3、用“环形平移补空法”编排一个八阶幻方。【分析与解答】编排步骤如下:①画一个8×8的八阶幻方空格（下图A的中间实线部分），并在左右两端画出凸阶梯状虚线方格（如图A所示，每向外一层上、下各减少一格）。②把1至64这六十四个数分成四组，即第一组：1～16，第二组：17～32，第三组：33～48，第四组：49～64。③把第一组的十六个数从八阶幻方的第一行第八列开始，按顺时针

8、方向依次排成环形（红色）；第二组的十六个数从八阶幻方的第八行第四列开始，按逆时针方向依次排成环形（蓝色）；第三组的十六个数从八阶幻方的第一行与1相隔一格开始，按顺时针方向依次排成环形（深绿色）；第四组的十六个数从八阶幻方的第八行第二列开始，按逆时针方向依次排成环形（浅绿）。（见图B）④把右边凸阶梯状虚线方格中的数分别向左平移8格到相应的八阶幻方中，去掉右边凸阶梯状虚线格（图C）；把左边凸阶梯状虚线方格中的数分别向右平移8格到相应的八阶幻方中，去掉左边凸阶