第三章微分中值定理与导数的应用

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1、第三章微分中值定理与导数的应用一、教学目标：使学生会应用导数来研究函数及曲线的某些性态，并利用这些知识，解决一些实际问题。二、教学基本要求：掌握：1.微分中值定理；2.用洛必达（L.Hospital）法则求函数极限3.泰勒公式4.函数的单调区间及极值点；5.函数的凸凹区间及拐点；6.函数作图7.曲率三、学时分配：共计12学时。四、重点与难点：重点：1.微分中值定理；2.洛必达法则3.函数的单调区间及极值点；4.函数的凸凹区间及拐点。难点：1.泰勒公式；2.曲率。五、教学手段：以教师讲解为主，启发学生积极思考，适当提问，以加深学生对重点知识的印象。六、思考题和

2、习题思考题：1.驻点与极值点的区别与联系2.未定式不满足洛必达法则定理条件时，所求极限是否存在习题：1.证明，当>0时，2.求3.求曲线的拐点及凹凸区间§3-1中值定理一、罗尔（Rolle）定理1.定理：设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在端点处函数值相等，即：，那么，在内至少存在一点，使得函数-33-第页在该点的导数等于零，即2.几何意义：设曲线弧的方程为，定理条件的几何意义就是：曲线弧是一条连续光滑的曲线，除端点外处处有不垂直于轴的切线，且端点处的函数值相等。定理的结论表达了这样一个事实：在曲线弧上至少有一点，在该点处的切线平行于轴。从图中可以看出

3、，在曲线弧的最高点或最低点处，有平行于轴的切线。二、拉格朗日中值定理1.拉格朗日中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么，在内至少存在一点，使得＝成立。2.几何意义：若连续曲线在曲线弧上除端点外处处有不垂直于轴的切线，那么在弧上至少存在一点，使得曲线在点处的切线也平行于弦。例1．证明：当时，三、柯西（Cauchy）中值定理1.柯西中值定理：如果函数和在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内每一点处均不为零，那么在内至少存在一点，使得：成立。§3-2洛必达法则一、定理1：设（1）当时，和都趋于零；（2）在点的某个去心邻域内，和都存在，且不等于零；（

4、3）存在（或为无穷大），那么＝定理说明，在一定条件下，可以通过对分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的值。这种法则称为洛必达（L.Hospital）法则.例1.求（）例2.求-33-第页注意：此题中，已经不再是未定式，不能对他应用罗必塔法则，这是应用罗必塔法则应该注意的：如果不是未定式，就不能用用罗必塔法则。例3.二、时型的未定式，以及或时未定式的罗必塔法则。对于时的未定式有：如果：（1）当时，和都趋于零；（2）当时，和都存在，且不等于零；（3）存在（或为无穷大），那么例4.求例5．求例6.求（为正整数，）三、、、、、、型的未定式例7.求(型)例8.求（

5、）例9.求（）例10.求-33-第页§3-3泰勒公式一、泰勒（Taylor）定理如果在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当在内时，可以表示为的次多项式与一个余项之和。＝其中＝，这里是与之间的某个值。二、麦克劳林（Malaurin）公式在泰勒公式中，取，则是与之间的某个值。因此令从而，泰勒公式变成比较简单的形式，即所谓的麦克劳林（Malaurin）公式或写作由此得近似公式误差估计（5）相应的变为。例1.写出函数＝的阶麦克劳林公式例2.求＝的阶麦克劳林公式§3-4函数单调性的判定法一、函数单调性的判别法：设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，（1）如果在内，，

6、则在上单调增加；（2）如果在内，，则在上单调减少。如果把这个判定法中的闭区间换成其他区间（包括无穷区间），那么结论也成立。例1.判定函数在上的单调性。例2.讨论函数的单调性。-33-第页注：函数在内不是单调的，但是我们用使导数等于零的点来划分定义区间后，在所得的各个部分区间上是连续的，这个结论对于在定义区间上具有连续导数的函数都是成立的。例3.讨论函数的单调性注：具有连续导如果函数在某些点处的导数不存在，则划分定义区间的点，还应包括这些导数不存在的点。综上所述，我们有如下结论：如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程

7、的根和不存在的点去划分定义区间，就能保证在各个部分区间内保持固定符号，因而函数在各个部分区间上单调。例4.确定函数的单调区间。例5.讨论函数的单调性。注：一般的，如果在某个区间内的有限个点处为零，而在其余各点处均为正（负）时，那么在该区间上仍旧是单调增加（单调减少）的。例6.证明：当时，注：此例说明利用函数的单调性可以证明不等式。§3-5函数的极值及其求法一、定义1.设函数在区间内有定义，为内一点，若存在的一个去心邻域，对于该邻域内的任一点，有成立，则称是函数的一个极大值；若存在的一个去心邻域，对于该邻域内的任一点，有成立，则称是函数的一个极小值。2.函数极

8、大值和极小值统称极值。使函数取得极值的点称为极值点。