浅谈“哥德巴赫猜想”证明方法

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1、浅谈“哥德巴赫猜想”证明方法务川自治县实验学校王若仲贵州564300摘要：对于“哥德巴赫猜想”，我们来探讨一种证明方法，要证明任一不小于6的偶数均存在有“奇素数+奇素数”的情形，如果我们把“奇素数+奇素数”这样的情形若能转换到利用奇合数的情形来加以分析，也就是任意给定一个比较大的偶数2m，通过顺筛和逆筛的办法，顺筛就是筛除掉集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中的全体奇合数；逆筛就是在集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中再筛除掉偶数2m分别减去集合{1，3，5，7，9，…，（2m-1）}中的每一个奇合数而得到的全体奇数；以及筛

2、除掉1和（2m-1）。通过这样筛除后，如果集合中还剩下有奇数，那么剩下的奇数必为奇素数，并且必定只满足“奇素数+奇素数=2m”的情形。关键词：哥德巴赫猜想；奇素数；奇合数；顺筛；逆筛。德国数学家哥德巴赫在1742年提出“哥德巴赫猜想”，即任何一不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和。历史上研究“哥德巴赫猜想”的方法及进展。(一)比较有名的方法大致有下面四种：（1）筛法，（2）圆法，（3）密率法，（4）三角求和法。其中：筛法是求不超过自然数Ｎ（Ｎ＞1）的所有素数的一种方法，2m=a+b，a=p1p2p3…pi，b=q1q2q3…qj，筛法的基本出发

3、点，即加权筛法；圆法是三角和（指数和）估计方法；密率法（概率法）是函数估值法。(二)研究的进展途径一：殆素数，即2m=a1·a2·a3·…·ai+b1·b2·b3·…·bj。殆素数就是素因子个数不多的正整数。现设N是偶数，虽然现在不能证明N是两个素数之和，但是可以证明它能够写成两个殆素数的和，即N=A+B，其中A和B的素因子个数都不太多，譬如说素因子个数不超过10。现在用“a+b”来表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。显然，哥德巴赫猜想就可以写成“1+1”19。在这一方向上的进展都是用所谓的筛法得到

4、的。　“a+b”问题的推进　　　1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。　　1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。　　　1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。　　　1937年，意大利的蕾西先后证明了“5+7”,“4+9”,“3+15”和“2+366”。　　　1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5+5”。　　　1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4+4”。　　　1956年，中国的王元证明了“3+4”。稍后证明了“3+3”和“2+3”。　1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1+c”，其中c是一很大的自然数。　1962年，中国的潘承洞和苏联的

5、巴尔巴恩证明了“1+5”，中国的王元证明了“1+4”。　1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1+3”。1966年，中国的陈景润证明了“1+2”。途径二：例外集合，即寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数。19在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。我们希望，无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2，即只有2使得猜想是错的。这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然，直到现在还不能证明E(x)=1；但是能够证明E(x

6、)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。维诺格拉多夫的三素数定理发表于1937年。第二年，在例外集合这一途径上，就同时出现了四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。途径三：小变量的三素数定理，即已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。　　如果偶数的哥德巴赫猜想正确，那么奇数的猜想也正确。我们可以把这个问题反过来

7、思考。已知奇数N可以表成三个素数之和，假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3，那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。这个思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25岁时，研究有一个小素变数的三素数定理。这个小素变数不超过N的θ次方。我们的目标是要证明θ可以取0，即这个小素变数有界，从而推出偶数的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先证明θ可取1/4。后来的很长一段时间内，这方面的工作一直没有进展，直到1995年展涛教授把潘老师的定理推进到7/120。这个数已经比较小了，但是仍然大于0。途径四：几乎哥德巴赫问题，即2m=p+q+2k

8、。p和q均为奇素数。191953年，林尼克发表了一篇长达70页的论文。在文中，他率先研究了几乎哥德巴赫问题，证明了，存在一个固定的非负整数k，使得任何