专题复习：高考中球的计算问题

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1、专题复习：高考中“球”的计算问题昆二十四中李庆嵩授课班级:高三（1）班教学目标：了解球、球面的概念,掌握球的性质及球的表面积、体积公式，理解球面上两点间距离的概念，了解与球的有关的内接、外切几何问题的解法．教学重点及难点：重点：球面与球体的有关概念、性质与计算公式、球面上两点间的距离；难点：球的外接和内切问题。教学过程：有关球的一些计算问题是高考立体几何中常见的题型，它往往以小题的形式出现。对于这类问题由于作图困难，需要发挥较强的的空间想象能力，作出球中相应的几何图形，并进行准确的分析和计算。对球的考查主要在以

2、下四个方面：（1）球的截面的性质；（2）球的表面积和体积；（3）球面上两点间的球面距离；（4）球与其他几何体的组合体.一、知识梳理1、球及球面的概念：与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球。定点叫做球心，定长叫做球的半径。与定点距离等于定长的点的集合叫做球面。第7页（共7页）2、球的截面性质：用一个平面截球，截面是圆面。球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。球的截面有下列性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的

3、半径r有下面关系：。3、两点间的球面距离：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆夹在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点间的球面距离。4、球的表面积与体积：，5、设正方体的棱长为，则其外接球半径，内切球半径；设长方体的长、宽、高分别为、、，则其外接球半径二、自我检测1、已知球的内接长方体从一个顶点出发的三条棱长为3、4、，则该球的表面积与体积为（）（A），（B），（C），（D），2、正方体的内切球与外接球的半径之比为（）（A）（B）（C）（D）第7页（共7页）3、在半径为13的球面上有A、B、

4、C三点，AB=6cm，BC=8cm，CA=10cm，则球心O到平面ABC的距离为（）（A）12cm（B）10cm（C）8cm（D）6cmD1B1C1A1DCBA4、长方体的8个顶点在同一球面上，且AB=2，AD=，，则顶点A、B间的球面距离是。答案：1、B2、C3、A4、三、例题分析类型一、球的截面及性质例1、已知球的表面积是2500p，球内有两个平行截面的面积分别是49p、400p,求两截面之间的距离。【思路分析】先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件求解。注意：由于球的对称性，

5、应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧或异侧的情形，加以分类讨论.第7页（共7页）解：由已知可得，球的半径，较小圆的半径，较大圆的半径（1）当两截面在球心同侧时，，，则（2）当两截面在球心异侧时，综上可知，两截面之间的距离为9或39.点评:球的截面的性质是解决与球有关的问题的重要一环，特别是有关球的计算问题中，（d、R、r分别表示球心到截面的距离、球的半径、截面圆的半径）起着重要的作用。类型二、球面距离计算例2、设地球的半径为R，在北纬圈上有两点A、B，A在西经，B在东经，求A、B两点间的球面距离．【思路

6、分析】求两点间球面距离的方法：将A、B两点与球心O连线，先求出弦长AB，在三角形ABO中求出∠AOB的弧度数，由公式弧长得到，其中叫做球心角，R为球的半径。解答：如图，设45°纬线圈中心为O1，地球中心为O，第7页（共7页）则∠AO1B＝40°＋50°＝90°，又∵OO1⊥圆O1所在平面，∴OO1⊥O1A，OO1⊥O1B.又∵A、B在北纬45°圈上，∴∠OBO1＝∠OAO1＝45°，∴O1A＝O1B＝O1O＝OA·cos45°＝R，∴在直角△AO1B中，∵AO1＝BO1，∴AB＝AO1＝R，∴△AOB为等边三角

7、形，∴∠AOB＝，在球面上，A、B两点的球面距离为＝R，∴A、B两点间的球面距离为R.类型三、球的表面积和体积例3、球面上有三点A、B、C，点A与点B，点A与点C之间的球面距离是大圆周长的，点B与点C之间的球面距离是大圆周长的，且球心到截面ABC的距离是，求球的表面积和体积。OBCAO1【思路分析】首先根据题意抽象出球内的几何图形：侧棱相等的三棱锥，然后求出弦AB、AC、BC的长，再利用正弦定理及截面性质求出球的半径即可。第7页（共7页）（过程略）四、课堂作业1、（2009四川）如图，在半径为3的球面上有A、B

8、、C三点，，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是（A）（B）（C）（D）ABOO1第1题第2题第3题2、（2006四川）如图1，正四棱锥底面的四个顶点A、B、C、D、在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则球O的表面积为（）（A）（B）（C）（D）3、（2009年陕西）如图球O的半径为2，圆是一小圆，，A、B是圆上两点，若A，B两点间的球面距离为，则=.4、（200