8.5一元线性回归案例(4)教学设计

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1、8．5一元线性回归案例（4）一、教学目标（一）知识目标相关系数的概念；线性回归的概念（二）能力目标判断变量间是否线性相关；了解非线性相关转化为线性相关的方法（三）情感目标培养学生分析问题，解决问题的能力二、教学重点非线性相关转化为线性相关的方法三、教学难点非线性相关问题求回归方程四、教学过程（一）引入课题1．判断两个变量之间是否具有相关性的方法求变量的相关系数当时，高度正相关，y随着x的增加而增加；当时，高度负相关，y随着x的增加而减少。2．求线性回归直线，得以预测变量y的值其中，，（二）案例讲解案例一红铃虫：世界性棉花害虫,1953年7～9月，我国18省300多个植棉

2、县红铃虫大发生，发生面积300万公顷，损失皮棉约二十万吨。红铃虫的发生受温度的影响，各棉区的冬季温度和棉花生育期的有效温度决定红铃虫的产卵数，为采取有效防治方法，有必要研究红铃虫的产卵数和温度之间的关系.现搜集了一只红铃虫的产卵数y和温度x之间的7组观测数据列于下表：温度21232527293235产卵数/个711212466115325（1）试建立y与x之间的回归方程；并预测温度为时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？要根据气温预报产卵数，因此选取气温为x变量，产卵数为y变量，作散点图如下：图8－5－13讨论（1）：根据散点图，若建立一

3、元线性回归模型，其相关系数为则设回归方程为，利用计算器，可求出，将其画在散点图上：图8－5－14但是，我们发现散点图中点没有分布在回归直线附近，而更趋近于一条曲线。当温度x＝时，代入线性回归方程得，这比时红铃虫产卵数325还少，显然与事实相差太远。显然在这个案例中线性回归模型不是最佳的模型，它不具备估计的意义。那么对这种趋于曲线的散点图，我们可以联想到熟悉的函数有二次函数、指数函数等。讨论（2）：若选用二次函数模型，如何求参数、？我们知道在线性回归模型中，采用的是最小二乘法求得、，那么对这种非线性的回归模型能否考虑转化为线性回归模型？可以看出，将作为一个整体，就转化为，

4、就是线性回归模型了。列表：温度21232527293235温度的平方44152962572984110241225产卵数/个711212466115325作出与的散点图图8－5－15利用计算器得，此时的与的相关系数为，，所以关于温度的平方t与产卵数y的线性回归方程为，散点图如下：图8－5－16则，温度x与产卵数y的回归方程为，当时，产卵数，也比时红铃虫产卵数325少，说明二次函数模型同样不大适合。讨论（3）：若选用指数函数作为模型，其结果又会如何？首先要解决的是将此模型转化为线性模型。可以对等式两边同时取自然对数得，令，，建立与x的线性模型。列表：温度212325272

5、932351.952.403.043.184.194.745.78产卵数/个711212466115325做出散点图：图8－5－17求得相关系数为，，线性方程为，当温度，，则产卵数个，较是的产卵数多，较为符合。x与z的散点图及回归直线如下：图8－5－18结论：比较三种模型得出（1）从散点图来看，二次函数模型经过变换得到线性回归模型后，点仍呈曲线分布（图4），而指数模型经变换得线性回归模型后点分布在一条直线的附近；（2）从线性相关性来看，，，，指数模型相关系数最接近1；（3）从估计值来看，令，指数模型的结果与实际最为接近。由此，我们可以得出指数函数的模型较为理想。（三）课

6、堂小结1．了解了如何将非线性问题转化为线性问题求回归方程的方法；2．案例看出，一元线性回归模型并不一定是最为理想的回归模型。要更好的刻画两变量之间的关系，首先要画出散点图，通过观察散点图中点的分布特征来选择回归模型。五、布置作业补充题：1．下面是两个变量的一组变化数据：123456781.13.98915.825.235.84864.2求与之间较为适合的函数模型。