微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题详解

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1、第三章习题3-11．设s=gt２，求．解：2．设f(x)=，求(x0)(x0≠0)．解：3．（1）求曲线上点（2，4）处的切线方程和法线方程；（2）求过点（3，8）且与曲线相切的直线方程；（3）求上点（2，）处的切线方程和法线方程；（4）求过点（2，0）且与相切的直线方程。解：略。4．下列各题中均假定f′(x0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：(1)=A;(2)f(x0)=0,＝A；(3)=A．解：(1)(2)25(3)5．求下列函数的导数：(1)y=；(2)y=；(3)y=．解：(1)(2)(3)6．

2、讨论函数y=在x=0点处的连续性和可导性．解：函数在点处连续但不可导。7．试由倒数定义，证明：若f(x)为可导的奇（偶）函数，则f′(x)是偶（奇）函数。证：为偶函数25，即故8．求下列函数在x0处的左、右导数，从而证明函数在x0处不可导：(1)y＝；(2)y=．解：(1)函数在处不可导。(2)函数在处不可导。9．设函数f(x)=为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导，a，b应取什么值?解：为使在处连续，必须，，(1)为了使在处可导，必须25，代入（1）式得当，时在处连续且可导。10※．证明：双曲线xy＝a２上任一点

3、处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a2．证：设是双曲线上任一点，则，该双曲线在处切线的斜率该双曲线在处切线的方程为：令得该切线在轴上的截距为，令得该切线在轴上的截距为，于是，它与两坐标轴构成的三角形的面积。11．垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为h(t)＝10t－gt２(m)，求：(1)物体从t=1(s)到t=1．2(s)的平均速度；(2)速度函数v(t)；(3)物体何时到达最高点．解：(1)(2)(3)当时，物体到达最高点。由即得即上抛时物体到达最高点。12．设物体绕定轴旋转，在时间间隔［0,t

4、］内，转过角度θ，从而转角θ是t的函数；θ＝θ(t)．如果旋转是匀速的，那么称ω＝25为该物体旋转的角速度．如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻t0的角速度?解：设从时刻到间转过的角度为，则物体在时刻的角速度为。13※．已知f(x)在x=x０点可导，证明：=(＋β)f′(x0)．证：当，时，习题3-21．求下列函数的导数：(1)s=3lnt+sin；(2)y=lnx;(3)y=(1-x２)·sinx·(1-sinx);(4)y=；(5)y=tanx+eπ；(6)y=-3secx;(7)y=lnx-2lgx+3lo

5、g2x;(8)y=．解：(1)(2)(3)25(4)(5)(6)(7)(8)2．求下列函数在给定点处的导数：(1)y=xsinx+cosx，求；(2)f(x)=+,求f′(0)和f′(2);(3)f(x)=求f′(1)．解：(1)(2)(3)253．设p(x)=f1(x)f2(x)…fn(x)≠0,且所有的函数都可导，证明．证：.4．求下列函数的导数：(1)y=;(2)y=arctanx2；(3)y=(4)y=(1+x2)·ln(x+);(5)y=x2·sin;(6)y=cos2ax3(a为常数)；(7)y=arcco

6、s;(8)y=(arcsin)2;(9)y=;(10)y=sinnx·cosnx;(11)y=；(12)y=arcsin；(13)y=lncosarctan(shx);(14)y=＋arcsin（a＞0为常数）．解：(1);25(2);(3);(4);(5)(6);(7)(8);(9);25(10);(11);(12);(13)25(14);5．y=arccos－２，求．解：6．试求曲线y=·在点(0，1)及点(-1，0)处的切线方程和法线方程．解：故曲线在(0,1)点的切线斜率曲线在(0,1)点的切线方程为即法线方程

7、为即又此时，曲线具有垂直于x轴的切线x=-1,其法线为y=0.7．设f(x)可导，求下列函数y的导数：25(1)y=f(x2)；(2)y=f(sin2x)+f(cos2x)．解：(1)(2)8．求下列隐函数的导数：(1)x3+y3-3axy=0;(2)x=yln(xy);(3)xey+yex=10；(4)ln(x2+y2)=2arctan;(5)xy=．解：(1)方程两边对x求导，得：解得(2)方程两边对x求导，得：即即(3)方程两边对x求导，得：解得(4)方程两边对x求导，得：即即25即(5)方程两边对x求导，得：解

8、得9．用对数求导法求下列函数的导数：(1)y=；(2)y=;(3)y=．解：(1)两边取得对数，得：上式两边对x求导，得：所以(2)两边取得对数，得：上式两边对x求导，得：即所以(3)两边取得对数，得：上式两边对x求导，得：2510．求下列参数方程所确定的函数的导数．(1)（a,b为常数）；(2)解：(1)(2)11．已知求当t=