微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第四章习题详解.doc

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1、习题4-11.验证函数f(x)=lnsinx在[]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的，使f′(ξ)=0.解:显然在上连续,在内可导,且,满足罗尓定理的条件.令,则即存在,使成立.2.下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ?解:(1)在上连续,在内可导,且即在上满足罗尓定理的三个条件.令得,即存在,使.(2)显然在内连续,又所以在处连续,而且即在处右连续,在处左连续,所以在上连续.又在处不可导,从而在内不可导.又又由知综上所述,函数满足罗尓定理的条件(1),(3)不满足条件(2),没有满足定理结论的.(3)由知在不右连续,在上不连续,显然在上可导,又

2、,即,且,取,有.综上所述,函数满足罗尓定理的条件(2),不满足条件(1),(3),有满足定理结论的,=.3.不用求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间.解:显然在上连续,在内可导,且,由罗尓定理知,在内至少存在一点,使,即在内至少有一个实根.同理在内也至少有一个实根.又是二次方程,最多有两个实根,故有两个实根,分别在区间和内.4.验证拉格朗日中值定理对函数在区间［0，1］上的正确性.解:显然在［0，1］上连续,在内可导,满足拉格朗日中值定理的条件.若令则,取,即存在,使得成立.从而拉格朗日中值定理对函数在［0，1］上成立.5※.设在［a,b］上连续，在［a,b］

3、内可导，f′(a)=0，f′′(x)>0，证明：f′(a)>f(b)。证:略。6.若方程有一个正根x0,证明方程必有一个小于的正根.证:令,显然在连续,在内可导,且,依题意知.即有.由罗尓定理,至少存在一点,使得成立,即成立,这就说明是方程的一个小于的正根.7※.设f(a)=f(c)=f(b),且a＜c＜b,f″(x)在［a,b］上存在，证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使f″(ξ)=0.证:显然分别在和上满足罗尓定理的条件,从而至少存在,,使得.又由题意知在上满足罗尓定理的条件,从而至少存在一点,使得.即在内至少存在一点,使.习题4-21.利用洛必达法则求下列极限：(1);(

4、2);(3)；(4),(a＞0)；(5)；(6);(7);(8);(9);(10)(11);(12);(13);(14).解:2.设=5,求常数m,n的值.解:而且即且即且于是得.3.验证极限存在，但不能由洛必达法则得出.解:,极限存在,但若用洛必达法则,有因不存在,所以不能用洛必达法则得出.4.设f(x)二阶可导，求.解:这是型未定式,利用洛必达法则有习题4-31.求函数f(x)=的n阶马克劳林公式.解:又2.当时，求函数f(x)=的n阶泰勒公式.解:3.按的乘幂展开多项式解:函数,根据泰勒公式按的幂的展开式是而所以,.习题4-41.求下面函数的单调区间与极值：(1

5、)；(2)；(3)；(4).解:(1)令得驻点在上,,在上在上单调增加,在上单调减少.当时,有极大值,极大值为,当时,有极小值,极小值为.(2),令得驻点在上,;在上,在上单调递减;在上单调递增.当时,有极小值,极小值为.(3)但当时,不存在,在上,;在上,,在上单调递增;在上单调递减.当时,有极大值,极大值为.(4),则且当时,不存在,又令得在上,,在上在上单调递增;在上单调递减;当时,有极大值,极大值为;当时,有极小值,极小值为.2.试证方程sinx=x只有一个根.证:显然是方程得一个根(亦可将运用零点定理).令,则,而的点不是单调区间的分界点,故在内单调下降,所以在内只有一个

6、零点,即方程只有一个根.3※.已知，若f(0)=0,f′(x)在内存在且单调增加，试利用本节内容及拉格朗日中值定理证明在［0,＋∞)内也单调增加.解:,由题意知在上满足拉格朗日中值定理的条件,利用拉格朗日中值定理得,,使,因在单调增加,且,所以即令,则所以单调递增,即在内单调增加.4.证明下列不等式：(1)当x＞0时，；(2).证:(1)令,则,当时,即单调递增,从而,故.(2)令,则当时,有,即单调递增,从而,即又令,则当时,,即单调递增,从而,即.综上所述,当时有.5.试问a为何值时，f(x)=asinx+sin３x在x=处取得极值?是极大值还是极小值?并求出此极值.解:

7、若为极值点,则,所以.又故函数在处取得极大值,极大值为.习题4-51.某个体户以每条10元的价格购进一批牛仔裤，设此批牛仔裤的需求函数为,问该个体户应将销售价定为多少时，才能获得最大利润?解:利润,,令得P=15所以应将销售价定为每条15元,才能获得最大利润.2.设f(x)=cxα(c＞0,0＜α＜1)为一生产函数，其中c为效率因子，x为投入量，产品的价格P与原料价格Q均为常量，问：投入量为多少时可使利润最大?解:依题意,总利润则令得所以,投入