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《微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第九章习题详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、--第9章习题9-11．判定下列级数的收敛性：(1)（a＞0）；(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)．解：（1）该级数为等比级数，公比为,且,故当,即时，级数收敛，当即时，级数发散.（2）发散.（3）是调和级数去掉前3项得到的级数，而调和级数发散，故原级数发散.（4）而,是公比分别为的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知收敛，即原级数收敛.（5）于是----故,所以级数发散.（6）不存在，从而级数发散.（7）级数发散.（8），故级数发散.2．判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1)；(2)※;(3);(4)．解：（1）都收敛，且其和分
2、别为1和，则收敛，且其和为1+=.（2）故级数收敛，且其和为.（3）,而，故级数发散.（4）,而,----故不存在，所以级数发散.3※．设(Un＞0)加括号后收敛，证明亦收敛．证：设加括号后级数收敛，其和为S.考虑原级数的部分和，并注意到，故存在,使又显然对一切成立，于是，是单调递增且有上界的数列，因此，极限存在，即原级数亦收敛.习题9-21．判定下列正项级数的收敛性：(1);(2);(3);(4)；(5)(a＞0);(6)(a,b＞0);(7)(a＞0);(8)；(9)；(10)※;(11);(12)；(13)※；(14);(15);(16)．解：（1）因为而
3、----收敛，由比较判别法知级数收敛.（2）因为，故原级数发散.（3）因为，而发散，由比较判别法知，级数发散.（4）因为,而是收敛的级数,由比较判别法知,级数收敛.（5）因为而当时，收敛，故收敛;当时，=发散，故发散;当时，故发散;综上所述，当时，级数发散，当时，收敛.（6）因为而当时,收敛，故收敛;----当时，发散，故而由,,故也发散;当时，故发散;综上所述知，当时，级数发散;当b>1时，级数收敛.（7）因为而发散，故级数发散.（8）因为而收敛，故级数收敛.（9）因为由达朗贝尔比值判别法知，级数发散.（10）因为，由达朗贝尔比值判别法知，级数发散.（11）因
4、为,由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.（12）因为----，由达朗贝尔比值判别法知，级数收敛.（13）因为由知由达朗贝尔比值判别法知，级数收敛.（14）因为，由柯西根值判别法知级数收敛.（15）因为而是收敛的等比级数，它的每项乘以常数后新得级数仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数收敛.（16）因为而与（12）题类似地可证级数收敛，由比较判别法知级数收敛.2．试在(0，+∞)内讨论x在什么区间取值时，下列级数收敛：(1);(2)．解：（1）因为由达朗贝尔比值判别法知，当时，原级数发散;当时，原级数收敛;----而当时，原级数变为调，它是发散的.综上所述，当时，级
5、数收敛.（2）因为,由达朗贝尔比值判别法知，当即时，原级数发散;当即时，原级收敛.而当即时，原级数变为，而由知发散，综上所述，当时，级数收敛.习题9-31．判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1);(2);(3);(４);(5)；(6);(7)．解：（1）这是一个交错级数,,由莱布尼茨判别法知.又，由,及发散，知级数发散，所以级数条件收敛.----（2）因为,故而收敛，故亦收敛，由比较判别法知收敛，所以级数绝对收敛.（3）因为而级数收敛，由比较判别法知收敛，因此，级数绝对收敛.（4）因为而收敛，由比较判别法的极限形式知，级数收敛
6、，从而级数绝对收敛.（5）因为,而级数收敛的等比级数;由比值判别法，易知级数收敛，因而收敛，由比较判别法知级数收敛，所以原级数绝对收敛.（6）当x为负整数时，级数显然无意义；当x不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因发散，故原级数当x不为负整数时仅为条件收敛.（7）因为----由比值判别法知收敛()，从而由比较判别法知收敛，所以级数，绝对收敛.2．讨论级数的收敛性(p＞0)．解：当时，由于收敛，故级数绝对收敛.当时，由于,由莱布尼茨判别法知交错级数收敛，然而，当时，发散，故此时，级数条件收敛.综上所述，当时，原级数条件收敛;当p>1
7、时，原级数绝对收敛.3※．设级数及都收敛，证明级数及也都收敛．证：因为而由已知及都收敛，故收敛，从而收敛，由正项级数的比较判别法知也收敛，从而级数绝对收敛.又由及,以及收敛，利用数项级数的基本性质知，收剑，亦即收敛.习题9-4----1．指出下列幂级数的收敛区间：(1)(0!=1)；(2)；(3)；(4)．(5)；(6)．解：（1）因为，所以收敛半径，幂级数的收敛区间为.（2）因为，所以收敛半径.当x=e时，级数，此时，因为是单调递增数列，且1,从而，于是级数当x=e时，原级数发散.类似地，可证当x=-e时，原级数也发散(可证),综上所述，级数的收敛区
8、间为(-e,e).（3）
