线性代数方法建模6 ct图像重建--数学建模案例分析

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1、§6CT图像重建CT是ComputedTomography的简称，即计算机断层成像技术，也称为计算机辅助断层扫描CAT—Scanner。为什么通过CT扫描能够比较清楚地了解被扫描物体断层的组织结构呢？它与数学又有什么样的联系？拍X光片是将三维对象（立体）显示在二维的胶片或荧光屏上，待检测物体与胶片平行，X射线垂直投射到胶片上，这样，在深度方向的信息重叠在一起，混淆不清。另外，由于胶片的密度分辩力低，不能区分软组织的细节，只能区分密度差别大的内脏器官，影响了诊断的效力。CT的创立，解决了这个问题。它不同于传统的X射线，它的X射线束则位

2、于待检测物体的横截面内，X射线源发射出极细的笔束X射线，在其对面放置一检测器，测量出X射线源发出的射线的强度，以及经过物体衰减后达到检测器的X射线强度，然后，将X射线源与检测器在观测平面内不断同步改变位置（平移或旋转），得到关于X射线强度的若干组数据（可以是几万组甚至几十万组）。如果物体是均匀的，物体对X射线的衰减系数为常数。设强度为的射线在物体中行进距离后衰减至，由Beer定理：（1）但若物体在待检测的平面内是不均匀的，则。此时X射线在某一方向沿某一路径的总衰减可以用线积分表示：（2）称（2）为射线投影。若未指明路径，只指明方向，

3、即，称为投影，投影是一组射线投影的集合。（1）与（2）中的和可由实验测得。我们的任务是：根据测得的一系列和来求。求得的仅是一个离散的二元函数，通过转换成CT数（这是相对于水的线性衰减系数，它比易于分辩），以数模转换器转换成图像信号，由电视屏以不同灰度等级或色彩显示出来或拍摄下来。这就是投影重建图像，所建立的图像为扫描平面的物体断层图像。CT是G.N.Hounsfield在1971年提出并在英国EMILtd.生产了第一台CT，1979年他与A.M.Cormack一起获得了Nobel医学奖。CT一出现，就得到了广泛的应用，不仅在医学方面

4、，在工业无损检测、农林业、生态环境检测、地球物理等方面都得到了广泛的应用，现已由第一代发展到第五代。我们这里讨论的是如何求的问题。投影重建图像有许多方法，如反投影重建算法、滤波重建算法和迭代重建算法等。这里仅介绍迭代重建算法。将待检测物体的截面分成许多边长为的小正方形，每个小正方形称为一个像元。设一束宽度为的射线，平行于像元的边，整个穿边像元。组成X射线的光子以一定的速率被像元内的组织吸收，其速率正比于组织的X射线密度（线性衰减系数）。记第个像元的X射线密度为，定义如果第束X射线穿过由个像元组成的一行像元，那么第束X射线经过这行像元

5、未被吸收的百分比=第束X射线经过待检测物体的截面而未被吸收的百分比。记称为第束X射线的密度，从而（3）式中可由测量得到，是未知的。将待检测的截面分成个像元，它们的标号由1到，第束X射线穿过个像元组成的一行像元，这些像元的标号为，则（3）可写成（4）令则（4）可写成线性方程组（5）其中为射线的数目，称（5）为第束X射线的方程，矩阵称为投影矩阵。然而，一束射线不一定沿平行于像元的方向穿过像元，因而需要将（5）中的加以修正，常用的方法如下：（1）像元中心法：（6）（2）中心线法：（7）（3）面积法：（8）若总共有束射线，个像元，利用上述三

6、种方法中的任何一种选择，则可得到一个含有个未知数，个方程的线性方程组：（9）一般地，可等于，也可以大于或小于。在实际的CT设备中，等，等。方程组（9）可能有解，也可能无解；有解时，可能有无穷多组解。客观上，由实际问题的意义，（9）应该有解。一般地，应该有无穷多组解。由于模型是由实际问题经过若干近似抽象而来的，数据又是测量得到的，不可避免地有误差，因此也会出现无解的情形。所以，我们将方程组（9）写成：（10）式中，为误差向量。另外，由于矩阵的元素很多，又有许多元素为零，用消元法来解很费时，在CT中用迭代法求解。它的思想是：先建立一个判

7、据，即接受的标准，选择一个解的初始值，若它符合判据，则接受为解，若达不到要求，则按一定的方法对原值加以修正，通过不断的迭代，直到可以接受为解为止。