1996年数学一真题及答案详解

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1、1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设则=_____________.(2)设一平面经过原点及点且与平面垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程的通解为_____________.(4)函数在点处沿点指向点方向的方向导数为_____________.(5)设是矩阵,且的秩而则=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知为某函数的全微

2、分,则等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设具有二阶连续导数,且则(A)是的极大值(B)是的极小值(C)是曲线的拐点(D)不是的极值也不是曲线的拐点(3)设且收敛,常数则级数(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与有关(4)设有连续的导数且当时与是同阶无穷小,则等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式的值等于(A)(B)(C)(D)三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线的全长,其中是常数.(2)设试证数列极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分其中为有向曲面其法向量与轴正向

3、的夹角为锐角.(2)设变换可把方程简化为求常数五、(本题满分7分)求级数的和.六、(本题满分7分)设对任意曲线上点处的切线在轴上的截距等于求的一般表达式.七、（本题满分8分）设在上具有二阶导数,且满足条件其中都是非负常数是内任意一点.证明八、（本题满分6分）设其中是阶单位矩阵是维非零列向量是的转置.证明(1)的充分条件是(2)当时是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型的秩为2,(1)求参数及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂和工厂的产品的次品率分别为1%和2

4、%,现从由和的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属生产的概率是____________.(2)设是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量,则随机变量的数学期望=____________.十一、（本题满分6分）设是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布率为又设(1)写出二维随机变量的分布率:123123(2)求随机变量的数学期望1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题（1）【答】【详解】因为于是（2）【答】【详解】原点与点连线的方向向量为平面的法向量为根据题意，所求平面的法向量为故所求平面方程为即

5、（3）【答】【详解】对应齐次方程的特征方程为解得特征根为由于不是特征根，可设原方程的特解为代入原方程解得故所求通解为（4）【答】【详解】因为沿方向的单位向量为故沿方向的方向导数为（5）【答】【详解】因为说明矩阵可逆，故秩秩二、选择题（1）【答】应选（D）【详解】为某函数的全微分的充要条件是即当且仅当时上式恒成立，故正确选项（D）.（2）【答】应选（B）【详解】由题设根据极限的性质知，存在的某领域，在此领域内有又根据泰勒公式，其中在0与之间，从而可见是的极小值，故正确选项为（B）.（3）【答】应选（A）【详解】由于而所以当充分大时，又正项级收敛，所以其偶数项数列构成的级

6、数也收敛，从而绝对收敛，故正确选项为（A）.（4）【答】应选（C）【详解】因为又根据题设与是同阶无穷小，且于是有可见应有，故正确选项为（C）.（5）【答】应选（D）【详解】按第一行展开，故正确选项为（D）.三、（1）【详解】因为利用对称性知，所求心形线的全长（2）【详解】由知，设对某个正整数有则故由归纳法知，对一切正整数，都有，即数列为单调减少数列。又显然有即有下界，根据单调有界数列必有极限值，数列的极限存在.记对两边取极限，得，从而解得故所求极限值为四、（1）【详解1】用高斯公式，以表示法向量指向轴负向的有向平面为在平面上的投影区域，则【详解2】用矢量投影法，因为于

7、是【详解3】直接投影法，曲面在平面上的投影对应两个曲面：一是其方向指向前侧，因此积分取正号，二是其方向指向后侧，因此积分取负号，再记表示在平面上的投影区域，则（2）【详解】将上述结果代入原方程，经整理后得依题意知应满足解之得五、【详解】令则因为于是有令得六、【详解】曲线上点处切线方程为令得截距由题意有即上式对求导，化简得即积分得，因此七、【详解】对在处用泰勒公式展开，得其中在式中令则有在式中令则有上述两式相减得于是又因当时，有故八、【详解】（1）因此因为所以故的充要条件为（2）方法一：当时，由有因为故有非零解，因此说明不可逆.方法二：当，由即的每一刻