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1、1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1).(2)设具有二阶连续导数,则.(3)设为椭圆其周长记为,则.(4)设为阶矩阵,,为的伴随矩阵,为阶单位矩阵.若有特征值,则必有特征值.(5)设平面区域由曲线及直线所围成,二维随机变量在区域上服从均匀分布,则关于的边缘概率密度在处的值为_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)(1)设连续,则()(A)(B)(C)(D)(2)函数不可导点的个数是()(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数
2、在任意点处的增量且当时,是的高阶无穷小,,则等于()(A)(B)(C)(D)(4)设矩阵是满秩的,则直线与直线()(A)相交于一点(B)重合27(C)平行但不重合(D)异面(5)设是两个随机事件,且则必有()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分5分)求直线在平面上的投影直线的方程,并求绕轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度,并求.五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(从海平面算起)与下沉速度之间的函数关系
3、.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,体积为,海水比重为,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为.试建立与所满足的微分方程,并求出函数关系式.六、(本题满分7分)计算其中为下半球面的上侧,为大于零的常数.七、(本题满分6分)求八、(本题满分5分)27设正项数列单调减少,且发散,试问级数是否收敛？并说明理由.九、(本题满分6分)设是区间上的任一非负连续函数.(1)试证存在,使得在区间上以为高的矩形面积,等于在区间上以为曲边的梯形面积.(2)又设
4、在区间内可导,且证明(1)中的是唯一的.十、(本题满分6分)已知二次曲面方程,可以经过正交变换化为椭圆柱面方程,求的值和正交矩阵.十一、(本题满分4分)设是阶矩阵,若存在正整数,使线性方程组有解向量,且,证明：向量组是线性无关的.十二、(本题满分5分)已知线性方程组的一个基础解系为,试写出线性方程组27的通解,并说明理由.十三、(本题满分6分)设两个随机变量相互独立,且都服从均值为0、方差为的正态分布,求随机变量的方差.十四、(本题满分4分)从正态总体中抽取容量为的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5
5、.4)内的概率不小于0.95,问样本容量至少应取多大？附表：标准正态分布表1.281.6451.962.330.9000.9500.9750.990十五、(本题满分4分)设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程.附表：分布表0.950.975351.68962.0301361.68832.0281271998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填
6、空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式.方法2：采用洛必达法则.原式.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至项,,,从而原式.(2)【答案】27【分析】因为具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求或均可,但不同的选择可能影响计算的繁简.方法1：先求.,方法2：先求.方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：评注：本题中,中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对求导时,视
7、为常数；对求导时,视为常数就可以了.(3)【答案】27【解析】关于轴(轴)对称,关于(关于)为奇函数.又在上,因此,原式.【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分,设在上连续,如果关于轴对称,为上的部分,则有结论：类似地,如果关于轴对称,为上的部分,则有结论：(4)【答案】【解析】方法1：设的对应于特征值的特征向量为,由特征向量的定义有.由,知(如果0是的特征值),将上式两端左乘,得,从而有(即的特征值为).将此式两端左乘,得.又,所以,故的特征值为.27方法2：由,的特征值(如果0是的特征值),则有特征值,
8、的特征值为；的特征值为.【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设是阶矩阵,若存在数及非零的维列向量使得成立,则称是矩阵的特征值,称非零向量是矩阵的特征向量.由为的特征值可知,存在非零向量使,两端左乘,得.因为,故,于是有.按特征值定义知是的特征值.若,则.即若是的特征值,则的特征值是.2.矩阵可逆的充要条件是,且.O12(5)【答案】【解析】首先求的联合概率密度.,区域的面积为其次求关于的边
