《微观经济学：原理与模型》及其证明方法

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1、《微观经济学：原理与模型》第三篇企业经济行为第八章生产函数第五节生产函数与技术进步==========================================附：一般生产函数的一般性质在经济学中经常涉及到要用一个函数来描述厂商的生产过程，我们把这个函数叫做生产函数。它的性质在经济学中经常用到，这里给出一个简单介绍。假设厂商的产出由厂商投入资本存量和劳动力来生产，这个过程由函数给出。假设函数是二阶连续可微的，并且满足：16A1．，即没有资本投入或者没有劳动力投入都不可能生产出产品。这也是人

2、们通常讲的“没有免费的午餐!”A2．函数对于变量是非降的，即投入品越多，产出越多。由生产函数的可微性，假设A2可以表示为A3．生产函数是常数规模回报的，即对任意的，有假设A3告诉我们，如果把所有的投入同时提高倍，总的产出也会相应地提高倍。在生产函数的连续可微性假设下，由假设A3可以得到下面的Euler方程：Euler方程告诉：在完全竞争的假设下，具有常数规模回报的厂商的所有收益被资本回报和工资所瓜分，因此它的极大化利润为零。A4．生产函数对变量是拟凹的，即对任意的生产可行性计划和任意的有条件A4

3、等价于厂商的要素需求集是凸集合，但它在应用中较难，因此通常用更强的条件来代替：16A4．生产函数对变量是严格凹的，即对任意的不同的生产可行性计划和任意的，有在生产函数的可微性下，严格凹性等价于生产函数的Hessian矩阵是负定的。同时也可以得到因此，在生产函数的严格凹性下，资本存量和劳动力的边际生产率都是递减的。A5．生产函数满足Inada条件，即假设A5表明当资本存量水平或者劳动力水平充分大时，它们的边际生产率充分小；反之，当它们的水平充分小时，它们的边际生产率充分大。例如：对任意的，，考虑生

4、产函数：可以验证上面函数满足条件A1~A3，和A5。我们通常所讲的Cobb-Douglas生产函数16就满足上述所有的假设。其中为非负常数，满足。==========================================一、常用生产函数在企业现实生产中，生产函数大多是非线性的。为简单起见，通常假设生产函数为线性或可以线性化的生产函数(1inearproducdonfunction)，并据此来分析有关生产函数的性质。(一)线性齐次生产函数线性齐次生产函数具有如下性质：1．规模报酬不变。规

5、模报酬不变是线性齐次生产函数的首要性质。根据式(8．13)和式(8．16)，由于，则(8．17)式(8．17)表示投入变动倍，产量也相应变动倍，呈线性变动。2．要素投入的平均产量和边际产量取决于投入比例，而与投人数量无关。16从平均产量来看，令，并代入式(8．17)，可得(8．18)由于，将式(8．18)代入，可得(8．19)从边际产量来看，由式(8.18)有(8．20)求上式对的偏导数，可得(8．21)由式(8．20)对的偏导数，可得(8．21)式(8．18)和式(8．19)，式(8．21)和

6、式(8．22)说明，，都是的函数。3．线性齐次生产函数满足欧拉定理(Euler’stheorem)。针对线性齐次生产函数，欧拉定理可用式(8．23)来表示。其经济含义是，各种投入的边际产量与投人数量乘积之和，等于总产量。16(8．23)(二)柯布一道格拉斯生产函数柯布一道格拉斯生产函数(Cobb-Douglasproductionfunction)简称C-D生产函数，其表达式为(8．24)其中，为规模参数(scaleparameter)，。为劳动的产出弹性()；为资本的产出弹性()。C-D生产函

7、数具有如下性质：1．次齐次生产函数。由于(8．25)对照式(8．16)，可知2．等产量线的斜率为负，并凸向原点。对式(8．24)微分，可得由于16故(8．26)上式表示：C-D生产函数等产量线的斜率，即劳动对资本的边际技术替代率为负。而且上式表明：C-D生产函数等产量线斜率的变化率为正，故等产量线凸向原点。3．规模报酬状况取决于大于、小于还是等于。若，则为线性齐次生产函数。因，式(8．24)可表达为(8．27)(三)不变替代弹性生产函数不变替代弹性生产函数(constantelasticityo

8、fsubstitutionproductionfunction)简称CES生产函数16，是包括线性生产函数、投入产出生产函数、C-D生产函数在内的一簇具有不变替代弹性的生产函数。它的一般形式是(8．28)其中，为规模参数，；为产出弹性，；为替代参数，替代弹性，故。根据替代参数，可以推导替代弹性，从而确定生产函数的性质：1、若，，CES生产函数蜕化为具有完全替代弹性的线性生产函数2、若，，CES生产函数变成完全无替代弹性的投入产出生产函数3、若，，CES生产函数变成为具有单一替代弹性的C-D生产函