有关平面几何与立体几何的类比研究

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1、有关平面几何与立体几何的类比研究我们可以从直线观察到平面观察，从平面观察再到空间观察进行比较研究。在直线上，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中点；在平面上，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中垂线；在空间中，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中垂面。BACacb在直线上，到定点的距离相等的点的集合是等距的两点；在平面上，到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的圆；在空间中，到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的球面。BACP平面上，在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c则。如图：；空间中，四面体,面PA

2、B、面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为、、、，三个面与底面所成的二面角分别为、、则有。4平面上，在直角中,角C=，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，边c上的高为h，则有；空间中，四面体，、、，、、BACPDEFH，点H为点P在面ABC内的射影，则有。BACP平面上，在直角中,角C=，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,则有；空间中，四面体，、、，面PAB、面PAC、面PBC、面ABC的面积分别为、、、，则有。BACPOrOArCB平面上，在中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，的内心为点O，内切圆的半径为r，的面积为S,则有；空间中，四面体,面PAB、面PAC、

3、面PBC、面ABC的面积分别为、、、，体积为V，其内切求的半径为r，球心为O，则有。4PACBDNMEFLPBADCNM平面上，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，则有；空间中，点A、C为射线PM上的两点，点B、D为射线PN上的两点，点E、F为射线PL上的两点，则有。平面上，到直线的距离相等的点的集合是与直线平行且等距的两条直线；空间中，到直线的距离相等的点的集合是直的圆形曲面；空间中，到平面的距离相等的点的集合是与平面平行的两个平面。平面上，到两定点的距离的和等于一个常数（大于两定点间的距离）的点的集合是椭圆；空间中，到两定点的距离的和等于一个常数（大于两

4、定点间的距离）的点的集合是椭圆面。平面上，到两定点的距离的差等于一个常数（小于两定点间的距离）的点的集合是双曲线；空间中，到两定点的距离的差等于一个常数（小于两定点间的距离）的点的集合是双曲面。在平面，到定直线与定点的4距离相等的点的距离相等的点的集合是一条抛物线；空间中，到定平面与定点的距离相等的点的距离相等的点的集合是一个抛物线面。平行于同一条直线的两条直线平行。平行一同一个平面的两个平面平行。因此，我们在以后的数学学习中要善于将平面中的几何与空间的几何进行比较，将一维、二维、三维的进行比较分析有利于发散数学思维。4