抽样区间估计与样本容量计算释疑

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1、抽样区间估计与样本容量计算释疑 抽样推断是统计学的基本方法之一，也是统计学原理的重点学习内容之一。抽样调查特点、抽样平均误差影响因素、抽样参数估计、抽样样本容量确定等构成了这一章的重点内容，而其中的参数估计与样本容量确定则是计算的重点。本文拟通过案例与初学者谈谈如何进行抽样估计，如何确定样本容量。[例1]某市统计部门为了解全市居民年消费支出情况，从全市20万户居民中随机抽取1000户居民进行调查，经计算平均每户年生活费支出为1.8万元，标准差0.9万元。要求：⑴以95.45%(t=2)的概率保证程度估计户均生活费支出的

2、区间。　　⑵估计全市居民消费总支出区间。[解题过程]已知户均年支出区间：[1.8-0.056,1.8+0.056]万元=[1.744,1.856]万元全市居民消费总支出区间：20万户×[1.744,1.856]万元=[3.488,3.712]亿元[几点说明]（1）一般而言，抽样区间估计的基本步骤是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。本例就是标准的均值参数区间估计题型。由于样本均值与标准差是已知的，所以无需计算点估计值。（2）本题计算时，必须注意“方差”与“标准差”的区别，不要将标准差当作方差来使用。（3）社会经济问

3、题抽样调查一般都是采用不重复抽样的，只有当总体单位总数N未知或n/N的比重很低时，才可以采用重复抽样平均误差公式来计算平均误差。（4）估计总量指标时，可直接将样本均值的区间乘上全及总体单位总数N即可。[例2]某企业为了解本市居民对某类保健品的看法，采用简单随机抽样方式，从全市居民户中随机抽取500人进行调查结果如下：　　对该类保健品的态度人数喜欢320一般性100不喜欢80合计500要求：以95%的可靠性估计全市居民中“喜欢”该产品的比率（t=1.96）。[解题过程]已知喜欢该类保健品者的比率置信区间为：[64%-4.

4、21%,64%+4.21%]=[59.79%,68.21%][几点说明]（1）本例是标准的成数区间估计题型。其基本步骤同样是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。（2）成数区间估计时最容易犯的错误就是：将N、n、n1相混淆。其实，若用文字表述，应该是“从N中随机抽取n个单位进行观察，有n1个单位是（具有某种特征）……”。并且，不要将抽样估计中提供的“可靠性水平”当作公式中的P来使用。“可靠性水平”值在计算时没有其它用途，只告诉我们概率密度t的具体取值。（3）本例没有提供全市居民总人数，所以N可视作“无穷大”。所以采用

5、重复抽样的平均误差公式计算抽样误差。[例3]某企业拟采用抽样技术对当天生产的5000件电子产品的耐用时间进行测试，要求有99%的可靠性（t=2.58）使耐用时间的误差范围不超过20小时。根据生产规格要求，这类电子产品耐用时数的标准差不超过150小时。问：至少应该抽取多少件产品进行质量检查（分别重复抽样与不重复抽样两种情况）。[解题过程]已知N=5000，t=2.58，Δx=20,σ=150[几点说明]（1）本例是样本容量确定的标准题型之一。样本容量确定其实是极限误差计算（参数估计）的反问题，因此其公式就是根据极限误差与

6、平均误差之间的关系推导而来的。因为Δx=tμx,等式两边平方，即有Δx2=t2μx2，在简单随机抽样情况之下，Δx2=t2σ2/n，从而有上述的公式。（2）对于成数的抽样估计，是非标志的方差σp2=P(1-P),故只要将上述公式中的方差改为P（1-P）即可。（3）样本容量估计时，计算结果总是取整数，小数点无论是否达到0.5均应该进位，故本列中374.4与348.3均进位，分别成为375与349。（4）在样本容量确定时，允许误差或误差范围均是指极限误差Δ。[例4]某市质量技术监督部门拟对市场上某类牛奶制品的质量（合格率）

7、进行检查，要求在95%的可靠性之下(t=1.96)，合格率的误差范围不超过1%。根据最近三次同类检查，这类产品的合格率分别为98.9%、98.2%、97.8%。问至少应该抽多少件产品进行检验？若允许误差扩大1倍，则应该抽取多少件进行检验？[解题过程]已知t=1.96，Δp=1%,P=97.8%当允许误差扩大1倍时，即Δp=2%，于是样本容量：  [几点说明]（1）本例是成数估计时的样本容量确定。虽然实际的质量检验肯定是采用不重复抽样的，但由于市场上该类产品数量未知，可视作无穷大，故采用重复抽样的样本容量公式。（2）本例

8、的关键是公式中P的选择。题中提供了三次同类检查的合格率资料，但一般不能用三者平均数作为P。样本容量确定时通常采取“保守原则”，因此应该取“最大方差”，题中提供的三次调查合格率，其方差分别为98.9%（1-98.9%）=0.010879、98.2%(1-98.2%)=0.011784、97.8%(1-97.8%)=0.021516，