2010中考数学_函数与几何综合压轴题集合

2010中考数学_函数与几何综合压轴题集合

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1、2010中考数学函数与几何综合压轴题集合1.(2004安徽芜湖)如图①,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知:A(-2,-6),C(1,-3)(1)求证:E点在y轴上;(2)如果有一抛物线经过A,E,C三点,求此抛物线方程.C(1,-3)(2,-6)BDOxEy(3)如果AB位置不变,再将DC水平向右移动k(k>0)个单位,此时AD与BC相交于E′点,如图②,求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.图①[解](1)(本小题介绍二种方法,供参考)方法一:过E作EO′⊥x轴,垂足O′∴A

2、B∥EO′∥DC∴又∵DO′+BO′=DB∴∵AB=6,DC=3,∴EO′=2又∵,∴∴DO′=DO,即O′与O重合,E在y轴上图②C(1+k,-3)A(2,-6)BDOxE′y方法二:由D(1,0),A(-2,-6)得DA直线方程:y=2x-2①再由B(-2,0),C(1,-3),得BC直线方程:y=-x-2②联立①②得∴E点坐标(0,-2),即E点在y轴上(2)设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A(-2,-6),C(1,-3)E(0,-2)三点,得方程组解得a=-1,b=0,c=-2∴抛物线方程y=-x2-2(3)(

3、本小题给出三种方法,供参考)由(1)当DC水平向右平移k后,过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。同(1)可得:得:E′F=2方法一:又∵E′F∥AB,∴S△AE′C=S△ADC-S△E′DC===DB=3+kS=3+k为所求函数解析式方法二:∵BA∥DC,∴S△BCA=S△BDA∴S△AE′C=S△BDE′∴S=3+k为所求函数解析式.证法三:S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2同理:S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4∴∴S=3+k为所求函数

4、解析式.2.(2004广东茂名)已知:如图,在直线坐标系中,以点M(1,0)为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.(1)求点A的坐标;(2)设过点A的直线y=x+b与x轴交于点B.探究:直线AB是否⊙M的切线?并对你的结论加以证明;(3)连接BC,记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2,若,抛物线y=ax2+bx+c经过B、M两点,且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式.[解](1)解:由已知AM=,OM=1,在Rt△AOM中,AO=,∴点A的坐标为A(0,1)(2)证:∵直线y=x+b过点A(0,1)∴1=0+b

5、即b=1  ∴y=x+1令y=0则x=-1  ∴B(—1,0),AB=在△ABM中,AB=,AM=,BM=2∴△ABM是直角三角形,∠BAM=90°∴直线AB是⊙M的切线(3)解法一:由⑵得∠BAC=90°,AB=,AC=2,∴BC=∵∠BAC=90° ∴△ABC的外接圆的直径为BC,ABCDxM·y∴而 ,设经过点B(—1,0)、M(1,0)的抛物线的解析式为:y=a(+1)(x-1),(a≠0)即y=ax2-a,∴-a=±5,∴a=±5∴抛物线的解析式为y=5x2-5或y=-5x2+5解法二:(接上)求得∴h=5由已知所求抛物线

6、经过点B(—1,0)、M(1、0),则抛物线的对称轴是y轴,由题意得抛物线的顶点坐标为(0,±5)∴抛物线的解析式为y=a(x-0)2±5又B(-1,0)、M(1,0)在抛物线上,∴a±5=0,a=±5∴抛物线的解析式为y=5x2-5或y=-5x2+5解法三:(接上)求得∴h=5因为抛物线的方程为y=ax2+bx+c(a≠0)由已知得∴抛物线的解析式为y=5x2-5或y=-5x2+5.ABCOxy·P(1,-1)3.(2004湖北荆门)如图,在直角坐标系中,以点P(1,-1)为圆心,2为半径作圆,交x轴于A、B两点,抛物线过点A、B

7、,且顶点C在⊙P上.(1)求⊙P上劣弧的长;(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否存在一点D,使线段OC与PD互相平分?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.[解](1)如图,连结PB,过P作PM⊥x轴,垂足为M. 在Rt△PMB中,PB=2,PM=1,∴∠MPB=60°,∴∠APB=120°的长=(2)在Rt△PMB中,PB=2,PM=1,则MB=MA=.又OM=1,∴A(1-,0),B(1+,0),ABCOxyP(1,-1)·M由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上,则C(1,-3).点A、B、C在抛物线上,则 

8、 解之得抛物线解析式为(3)假设存在点D,使OC与PD互相平分,则四边形OPCD为平行四边形,且PC∥OD.又PC∥y轴,∴点D在y轴上,∴OD=2,即D(0,-2).又点D(0,-2)在抛物线上,故存在点D(0,-2),使线段OC与

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