导数的不等式恒成立问题.docx

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1、导数的应用【考查重点与常见题型】题型一运用导数证明不等式问,题例1设a为实数,函数f(x)=ex—2x+2a,xCR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2—1且x>0时，ex>x2-2ax+1.⑴解由f(x)=ex—2x+2a,xCR知f■'(x)=ex—2,xCR.令f'(x)=0,得x=ln2,于是当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：x(—"in2)in2(in2,+8)f'(x)一0L+f(x)单调递减、2(1-in2+a)单调递增/故f(x)的单调递减区间是(一00,ln2],单调递增区间是[ln2,+°°),f(x)在x

2、=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2—2ln2+2a=2(1—In2+a).(2)证明设g(x)=ex—x2+2ax—1,x€R,于是g'(x)=ex—2x+2a,xCR.由(1)知当a>ln2—1时，g'(x)的最小值为g'(In2)=2(1—In2+a)>0.于是对任意xCR,都有g'(x)>0,所以g(x)在R上是增加的.于是当a>ln2-1时，对任意xC(0,+8),都有g(x)>g(0).而g(0)=0,从而又•任意xC(0,+8),g(x)>0.即ex—x2+2ax—1>0,故ex>x2—2ax+1...fx+k、已知f(x)=xlnx.

3、(1)求g(x)=(kCR)的单倜区间；(2)证x明：当x>1时，2x-ewf(x)恒成立.解：(1)g(x)=lnx+k,x，令g'(刈=?=0得乂=工xx>0,・•・当kW0时,g'(x)>0.，函数g(x)的增区间为(0,+°0),无减区间；当k>0时g'(x)>0得x>k;g'(x)<0得01),令h'(x)=Inx—1=0得*=3,h(x),h'(x)的变化情况如下：x1(1,e)e(e,十°°)h'(x)-1一0十h(x)e-20故h(x)>0JPf(x

4、)>2x-e.题型二利用导数研究恒成立问题例2已知函数f(x),a=lnx—_x.⑴若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性；3(2)若f(x)在［1,e］上的最小值为Q,求a的值；(3)若f(x)0.-.f,(x)>0,xxx故f(x)在(0,+8)上是增加的.,「x+a(2)由(1)可知，f(x)=—^.x①若a>—1,则x+a>0,即f(x)>0在［1,e］上恒成立，此时f(x)在［1,e］上是增加的，33…••f(x)

5、min=f(1)=-a=2,•a=-2(舍去).②若aw—e,则x+aw。，即f'(x)w。在［1,e］上恒成立，此时f(x)在［1,e］上是减少的，••f(x)min=f(e)=1-a=3，•1-a=-e(舍去).e22③若一e0,，f(x)在(一a,e)上是增加的，3一一f(x)min=f(_a)=ln(_a)+1=2)a=一^e.综上所述，a=—乖.(3);f(x)0,a>xlnx—x3令g(x

6、)=xlnx—x3,h(x)=g'(x)=1+lnx—3x2,h，(x)=1-6x=T•.x€(1,+oo)时,h(x)<0,h(x)在(1,+8)上是减少的.・•.h(x)—1时，f(x)0成立，则实数a的取值范围是.答案［4,+oo)解析当xC(0,1］时不等式ax3—3x+1>0可化为3x-1、几/、3x-1cm-a>--3-,设g(x)=-,xC(0,1

7、］,xx13x3-3x-13x26x—2g(x)=x6~x^，xxg'(x)与g(x)随x的变化情况如下表:x10,2121,12，g'(x)十0一g(x)/4因此g(x)的最大值为4,则实数a的取值范围是［4,+8).导数与不等式的综合问题典例:(12分)(2011辽宁)设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2.⑴求a,b的值；(2)证明：f(x)W2x—2.(1)解f'(x)=1+2ax+b.[1分]xf1=0,1+a=0,由已知条件得即f'1=2,1+2a+b=2.a=11,解得[4分]b=3.(2)证