2022版新教材高考数学一轮复习第7章立体几何第5节空间向量及其运算学案含解析新人教B版.doc

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1、优选第5节　空间向量及其运算一、教材概念·结论·性质重现1．空间向量的有关概念(1)零向量：始点和终点相同的向量，记作0.(2)单位向量：模等于1的向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量．(4)相反向量：方向相反、大小相等的向量称为相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行．(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性质相同或相似．在学习空间向量时，与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半

2、功倍的效果．2．空间向量中的有关定理语言描述共线向量定理如果a≠0且b∥a，则存在唯一实数λ，使得b＝λa共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb空间向量基本定理如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc(1)利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础．13/13优选(2)利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题．3．空间向量的数量积(1)两向量的夹角①给定两个非零向量a

3、，b，任意在空间中选定一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．②X围：0≤〈a，b〉≤π.(2)两个非零向量a，b的数量积：a·b＝

4、a

5、

6、b

7、cos〈a，b〉．(1)两向量的夹角概念中的两个注意点：①两个向量有相同的起点；②向量的方向．(2)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．4．空间向量的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示坐标表示数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3共线a＝λb(b≠0，

8、λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0模

9、a

10、夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝13/13优选用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的X围不同，最后应进行转化．5．常用结论(1)证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：①＝λ(λ∈R)；②对空间任一点O，＝＋t

11、(t∈R)；③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．(2)证明空间四点共面的方法对空间四点P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面：①＝x＋y；②对空间任一点O，＝＋x＋y；③∥(或∥或∥)．二、基本技能·思想·活动体验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(√)(2)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)．(×)(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c.(×)(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(×)(5)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(×)2

12、．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(　　)A．3B．4C．5D．6C　解析：因为α⊥β，所以u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，解得t＝5.13/13优选3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，AA1＝c，则下列向量中与相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋cA解析：＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.4．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)．若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)A．－2B．－C．

13、D．2D　解析：由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，所以14－7λ＝0，解得λ＝2.5．下列说法：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②

14、a

15、－

16、b

17、＝

18、a＋b

19、是a，b共线的充要条件；③若a，b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确的为________．(填序号)②③④解析：①中四点恰好围成一个封闭图形，正确；②中当a，b同向时，应有

20、a

21、＋

22、b

23、＝

24、a＋b

25、；③中a，b所在直线可能重合；④中需满足x＋y＋z＝1，才有P，A