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1、17.3一元二次方程的根的判别式一、教材分析：本节内容介绍了一元二次方程的根的判别式的概念，及一元二次方程的根的情况与判别式的关系。教材在对一元二次方程求根公式的讨论中，得出了b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，从而给出了“根的判别式”概念。一元二次方程的根的判别式是非常重要的，它有助于我们在不解方程的前提下，了解方程根的情况，也有利于以后对二次函数有关内容的学习。二、教学目标：1.了解一元二次方程根的判别式的概念，并理解为什么能根据它判别方程的根的情况；2.会用一元二次方程的根的判别式判别根的情况。3.在自主探索、合作交流的过程中，发
2、现根的判别式，并进一步体会转化和分类的数学思想方法。三、教学重难点：教学重点：会用一元二次方程的根的判别式判别根的情况；理解为什么能根据它判别方程根的情况。教学难点：在含字母系数的一元二次方程中，根的判别式的应用四、教学设计:1.温故探新同学们，前面我们已经学习过了一元二次方程的解法，那么，同学们掌握的怎么样呢？复习：解下列一元二次方程，观察它们根的情况：(1)x2-9=0(2)x2-4x+3=0(3)x2+2x+1=0(4)2x2+3=0(学生分组完成，可以请四个学生上台板演，教师巡视、辅导)答案：(1)x1=3,x2=-3;(2)x1=1
3、,x2=3；(3)x1=x2=-1；(4)无解问题1:上述四个方程的根的情况有什么不同?原因是什么？(教师引导学生发现：方程存在有实数根和无实数根的区别，有实数根的情况下，也存在两个实数根相等和不相等的区别。)设计意图：复习解一元二次方程的根的解法，感受方程根的三种不同情况。让学生体会：由于正数、0、负数的平方根的情况不同，故对一元二次方程两边开平方时，等式右边的值的符号影响着方程根的个数。我们知道一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0),通过配方,得到求根公式：-b-b2-4ac2a问题2:结合前面的感受，思考：公式中的哪一部分决定了方程
4、根的情况?-b-b-4ac2a(1)当b2-4ac>。时，Jb2-4ac是正实数,因此，方程有两个不相等的实数根：-bb-4acx1=；-,x22a(2)当b2—4ac=0时，Vb2^4ac=0,因此，方程有两个相等的实数根：xi=X22a，(3)当b2-4ac<0时，Jb2-4ac在实数范围内没有意义,因此，方程没有实数根。设计意图:学生通过讨论交流的自主学习方式，经历探寻“是b2-4ac的符号决定了一元二次方程根的情况”的过程，从根本上理解了“为什么我们依据b2-4ac来判别方程根的情况”，为判别式的引入做铺垫，节约了课堂时间，也提高了学
5、习效果。2.明确新知一元二次方程ax2+bx+c=0(a=0)的根的情况由b2-4ac来确定。我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根的判别式，通常用符号“△”来表示，即△=b2-4ac.3.升华新知问题3:符号与一元二次方程的根的情况有怎么的对应关系呢？一般地，方程ax2+bx+c=0(a#0),当4>0时，方程有两个不相等的实数根；当4=0时，方程有两个相等的实数根；当^<0时，方程没有实数根。反过来，也成立。当方程有两个不相等的实数根时，△>0;当方程有两个相等的实数根时，△=0;当方程没有实数根时，△<0。
6、注意：“当^<0时，方程没有实数根”是指“方程在实数范围内没有根”。高中阶段将学习它仍有两个根，但不是在实数范围内。设计意图：引导学生从前面的讨论交流中，概括、提炼出与一元二次方程根的情况之间的关系，使知识间的脉络关系清晰化，便于运用。4.应用新知例1不解方程，判别下列方程根的情况：(1)5x2-3x-2=0(2)25y2+4=20y(3)2x2+V3x+1=0师生共同分析题目，学生口答，教师板书，步骤要规范。解：(1)因为△=(-3)2-4X5"―2)=49>0,所以原方程有两个不相等的实数根。(2)原方程可以变形为25y2-20y+4=0
7、,因为△=(—20)2—4父25乂4=0,所以原方程有两个相等的实数根。(3)因为△=(..3)2-421=_5<0,所以原方程没有实数根。设计意图：引导学生总结“利用判别式判别一元二次方程根的情况”的一般步骤：1)将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a#0),确定a、b、c的值；2)计算△的值；3)判别根的情况。5.巩固新知不解方程，判别下列方程根的情况：(1)2x2-5x-4=0；⑵7t2-5t+2=0；(3)x(x+1)=3;⑷3y2+25=1073y学生板演，笔答，互评；教师讲评。6.拓展新知例2已知关于x的一元二次方程2
8、x2-x+k=0,问k取何值时，这个方程有实数根？解：△=(-1)2-4x2xk=1-8k,注意：当方醐槟魂御实施赊加以当叁AR时，方程有实数根。即1-8kA0,所
