利用导数研究函数的单调性的题型分析.docx

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1、利用导数研究函数的单调性题型分析题型一：利用导数求函数的单调区间例：求下列函数的单调区间.(2)f(x)=3x2-2lnx.(1)y=2x3—3x解：(1)由题意得V,=6x2-3.令V'=6x2—3>0,解得XV—当xC(—_*)时，函数为增函数，当xC(g+8)时,函数也为增函数.令y'=6x2—3<0,当xC(—222'2)时,函数为减函数.故函数的递增区间为--4和(也22十°°),递减区间为(一(2)函数的定义域为(0,+8),f0,即令f'(x)V0,即3x2-1■>0.且x>0

2、,可解得x>x3x2-1313~<0,由x>0得，0vxv3，'3,3・•.f(x)的增区间为(3，+°°),减区间为(0,3).规律总结：1.在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集R可以省略不写.“U”2.当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“/或“和”字等隔开，不要用符号连接，如(1)题中的增区间.变式训练：求下列函数的单调区间：(1)求函数f(x)=2x3—9x2+12x—3的单调区间；(2)求函数y=x3—2x2+x的单调区间.【解】(1)此函数的定义域为R,

3、f'(x)=6x2—18x+12=6(x—1)(x-2).令6(x—1)(x—2)v0,解得1vxv2,所以函数f(x)的单调递减区间是(1,2).令6(x—1)(x—2)>0,解得x>2或xvl,所以函数f(x)的单调递增区间是(2,+OO),(—8,1).(2)此函数的定义域为R.y'=3x2-4x+1,令3x2—4x+1>0,解得x>1或x<—.3(1，+°°),(-00,3).1因此y=x3—2x2+x的单调递增区间为再令3x2-4x+1<0,解得一vxV1.1(3,1).3因此y=x3—2x2+x的单调递减区间为bx例：讨

4、论函数f(x)=1(―1vxv1,b却)的单调性.x2—1【思路探究】(1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？(2)若先讨论xC(0,1)上的单调性，能否判断f'(x)在(0,1)上的正负？b的取值对其有影响吗?(0,1)上的单调性.解：因f(x)的定义域为(一1,1);函数f(x)是奇函数，，只需讨论函数在.f(x)=b(x21)22~(x21)(x21)2(x1)当0vxv1时，x2+1>0,(x2—1)2>0,・•・当b>0时，/(刈〈0.，函数£仪)在「(0,1)上是减函数；当b<0时，f'(x)>0,函数f(x

5、)在(0,1)上是增函数；又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知:当b>0时，f(x)在(一1,1)上是「减函数；当b<0时，f(x)在(一1,1)上是增函数.规律方法：1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f'(x)>0(f'(x)V0)在给定区间上恒成立.一般步骤为：①求导数f'(x);②判断f'(x)的符号;③给出单调性结论.2.导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论.变式训练：b求函数y=x+—(bw0)的单调区间.xbbx2—

6、b【解】函数y=x+—(bw0)的定义域为｛x

7、x却｝,y'=一—xx2x2①当b<0时，在函数定义域内y'f恒成立，所以函数的单调递增区间为(一8,0)和(0,+00);②当b>0时，令y'更，解得x>，b或xv—4b，所以函数的单调递增区间为(-8,—4)和(^,+8)；令y'

8、对数的底数).(1)求实数a的值；(2)设g(x)一，研究函数g(x)的单调性x11.….解：(1)f(x)=ax+xlnx,fx)=a+1+lnx,依题息f'(一)=a=1,所以a=1.e(2)因为g(x)f(x)xxlnxx—1—InxTV=匚1'所以gx)==.1设({)(x)=x—1—lnx,则6'x。=1—二x当x>1时，6'xO=1——>0,(J)(x)是增函数，x^^?x>1,6(x)>6(1)=0,即当x>1时，g'x0>0,故g(x)在(1,+8)上为增函数；当0

9、:寸?x€(0,1),<{)(x)>({)(1)=0,即当0Vx<1时，g'x0>0,故g(x)在(0,1)上为增函数.方法规律：1.导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f'x);(3)在函数f(