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1、利用导数研究函数的单调性题型分析题型一:利用导数求函数的单调区间例:求下列函数的单调区间.(2)f(x)=3x2-2lnx.(1)y=2x3—3x解:(1)由题意得V,=6x2-3.令V'=6x2—3>0,解得XV—当xC(—_*)时,函数为增函数,当xC(g+8)时,函数也为增函数.令y'=6x2—3<0,当xC(—222'2)时,函数为减函数.故函数的递增区间为--4和(也22十°°),递减区间为(一(2)函数的定义域为(0,+8),f0,即令f'(x)V0,即3x2-1■>0.且x>0
2、,可解得x>x3x2-1313~<0,由x>0得,0vxv3,'3,3・•.f(x)的增区间为(3,+°°),减区间为(0,3).规律总结:1.在利用导数求函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解题过程中,只能在定义域内讨论,定义域为实数集R可以省略不写.“U”2.当求得的单调区间不止一个时,单调区间要用“/或“和”字等隔开,不要用符号连接,如(1)题中的增区间.变式训练:求下列函数的单调区间:(1)求函数f(x)=2x3—9x2+12x—3的单调区间;(2)求函数y=x3—2x2+x的单调区间.【解】(1)此函数的定义域为R,
3、f'(x)=6x2—18x+12=6(x—1)(x-2).令6(x—1)(x—2)v0,解得1vxv2,所以函数f(x)的单调递减区间是(1,2).令6(x—1)(x—2)>0,解得x>2或xvl,所以函数f(x)的单调递增区间是(2,+OO),(—8,1).(2)此函数的定义域为R.y'=3x2-4x+1,令3x2—4x+1>0,解得x>1或x<—.3(1,+°°),(-00,3).1因此y=x3—2x2+x的单调递增区间为再令3x2-4x+1<0,解得一vxV1.1(3,1).3因此y=x3—2x2+x的单调递减区间为bx例:讨
4、论函数f(x)=1(―1vxv1,b却)的单调性.x2—1【思路探究】(1)函数的定义域是怎样的?函数是奇函数还是偶函数?(2)若先讨论xC(0,1)上的单调性,能否判断f'(x)在(0,1)上的正负?b的取值对其有影响吗?(0,1)上的单调性.解:因f(x)的定义域为(一1,1);函数f(x)是奇函数,,只需讨论函数在.f(x)=b(x21)22~(x21)(x21)2(x1)当0vxv1时,x2+1>0,(x2—1)2>0,・•・当b>0时,/(刈〈0.,函数£仪)在「(0,1)上是减函数;当b<0时,f'(x)>0,函数f(x
5、)在(0,1)上是增函数;又函数f(x)是奇函数,而奇函数的图象关于原点对称,从而可知:当b>0时,f(x)在(一1,1)上是「减函数;当b<0时,f(x)在(一1,1)上是增函数.规律方法:1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性,实质上就是判断或证明不等式f'(x)>0(f'(x)V0)在给定区间上恒成立.一般步骤为:①求导数f'(x);②判断f'(x)的符号;③给出单调性结论.2.导数的正负决定了函数的增减,当导函数中含有参数时,应注意对参数进行分类讨论.变式训练:b求函数y=x+—(bw0)的单调区间.xbbx2—
6、b【解】函数y=x+—(bw0)的定义域为{x
7、x却},y'=一—xx2x2①当b<0时,在函数定义域内y'f恒成立,所以函数的单调递增区间为(一8,0)和(0,+00);②当b>0时,令y'更,解得x>,b或xv—4b,所以函数的单调递增区间为(-8,—4)和(^,+8);令y'8、对数的底数).(1)求实数a的值;(2)设g(x)一,研究函数g(x)的单调性x11.….解:(1)f(x)=ax+xlnx,fx)=a+1+lnx,依题息f'(一)=a=1,所以a=1.e(2)因为g(x)f(x)xxlnxx—1—InxTV=匚1'所以gx)==.1设({)(x)=x—1—lnx,则6'x。=1—二x当x>1时,6'xO=1——>0,(J)(x)是增函数,x^^?x>1,6(x)>6(1)=0,即当x>1时,g'x0>0,故g(x)在(1,+8)上为增函数;当09、:寸?x€(0,1),<{)(x)>({)(1)=0,即当0Vx<1时,g'x0>0,故g(x)在(0,1)上为增函数.方法规律:1.导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'x);(3)在函数f(