2021_2022学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.3第1课时余弦定理课件新人教A版必修第二册.ppt

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1、6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理课标定位素养阐释1.借助向量的运算,探索三角形边长与角度的关系.2.掌握余弦定理及其推论.3.能够利用余弦定理及推论解三角形.4.加强数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随堂练习自主预习·新知导学一、余弦定理【问题思考】1.已知一个三角形的两条边及其夹角,这个三角形的大小、形状能完全确定吗?提示:根据三角形全等的判断方法可知,这个三角形的大小、形状是完全确定的.3.填空:(1)文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的

2、余弦的积的两倍.(2)符号语言:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.4.做一做:在△ABC中,AB=1,BC=2,B=60°,则AC=.二、余弦定理的推论【问题思考】1.在△ABC中,已知三条边,如何求出其三个内角?3.做一做:在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a=6,b=8,c=5,则角B为()A.锐角B.直角C.钝角D.不确定答案:C三、解三角形填空:(1)一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.(2)已

3、知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)在三角形中,勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例.(√)(2)已知三角形的三边求三个内角时,解是唯一的.(√)(3)在△ABC中,若b2+c2>a2,则△ABC是锐角三角形.(×)(4)在△ABC中,若b2+c2

4、及其中一边的对角,利用余弦定理b2=a2+c2-2accosB建立关于a的一元二次方程,解方程即可.已知三角形的两边及一角解三角形的方法:已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边的夹角,还是其中一边的对角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三条边.探究二已知三边解三角形分析:利用余弦定理的推论求出两个角,利用三角形的内角和定理求出第三个角.已知三边解三角形的步骤:(1)分别用余弦定理的推论求出两个角;(2)用三角形内角和定理求出第三个角.【

5、变式训练2】已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为()解析:∵p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),且p∥q,∴(a+c)(c-a)=b(b-a),即c2-a2=b2-ab,答案:B探究三判断三角形的形状【例3】已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosBsinA=sinC,试判断此三角形的形状.1.要判断三角形的形状,必须深入研究边与边的大小关系:是否两边相等?是否三边相等?是否符合勾股定理的逆定理?还要研究角与角的大小关系:

6、是否两个角相等?是否三个角相等?有无直角或钝角?2.解此类题的思想方法:从条件出发,利用余弦定理、两角和与差的正弦公式等进行代换、转化、化简、运算,发现边与边的关系或角与角的关系,从而作出正确判断.3.判断三角形形状时,还经常用到以下结论:在△ABC中,设a>b>c,若a2=b2+c2,则△ABC为直角三角形;若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形;若a2

7、钝角三角形ABC中,a=1,b=2,c=t,且C是最大角,求t的取值范围.错解:∵△ABC是钝角三角形,且C是最大角,∴C>90°,∴cosC<0,以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解忽略了两边之和大于第三边,即a+b>c这个隐含条件,导致t的取值范围变大.正解:∵a,b,c是△ABC的三边,∴b-a

8、条件,即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.【变式训练】设2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围.随堂练习1.在△ABC中,符合余弦定理的是()A.c2=a2+b2-2abcos