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《2020_2021学年高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质同步课件新人教A版必修520210325248.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时等差数列的性质主题 等差数列的性质1.已知等差数列{an},对于数列中的任意两项an,am存在怎样的关系?提示:由等差数列的通项公式可知an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)d,两式相减,得an-am=(n-m)d,所以an=am+(n-m)d.2.观察等差数列{an}的项与项数,回答问题:(1)3+6=4+5,a3+a6与a4+a5相等吗?提示:相等.(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq吗?提示:相等.因为am=3m,an=3n,ap=3p,aq=3q,am+an=3(m+n),
2、ap+aq=3(p+q),因为m+n=p+q,故am+an=ap+aq.3.试想一下问题2中等差数列若换为一般的等差数列还成立吗?即对于任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等差数列{an}中,am+an与ap+aq之间有怎样的关系?为什么?提示:am+an=ap+aq.因为am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d=2a1+(n+m-2)d,而ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d=2a1+(p+q-2)d,又因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.结论:等差数列的性质:{an}是公差为d的等
3、差数列,(1)若正整数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am+an=_____.(2)an=am+________.ap+aq(n-m)d【对点训练】1.在等差数列{an}中,若a1=2,a3+a5=10,则a7=()A.5B.8C.10D.14【解析】选B.由等差数列的性质,得a1+a7=a3+a5.因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.2.在等差数列{an}中,若a2=1,a6=-1,则a4=()A.-1B.1C.0D.【解析】选C.由2a4=a6+a2=-1+1=0,所以a4=0.3.等差数列{an}中,已知a100=
4、120,a90=100,则公差d=________.【解析】由等差数列的性质知d==2.答案:2类型一 等差数列的性质及应用【典例1】(1)已知a3与a7是方程x2-8x+9=0的两根,则a3+a4+a5+a6+a7=________.(2)已知等差数列{an}中a5+a6+a7=15,a5·a6·a7=45,求{an}的通项公式.【解题指南】(1)先利用根与系数的关系求出a3+a7的值,再利用等差数列的性质求解.(2)先利用性质求出a6,然后解a5与a7的方程组,进而求出a5与a7,最后再由性质求an.【解析】(1)因为a3与a7是
5、方程x2-8x+9=0的两根,所以a3+a7=8,故a4+a6=8,a5=(a3+a7)=4.因此原式=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=8+8+4=20.答案:20(2)因为a5+a6+a7=3a6=15,所以a6=5,因此解得或若a5=1,a7=9,则d===4,an=a5+(n-5)×4=4n-19;若a5=9,a7=1,则d==-4,an=a5+(n-5)×(-4)=-4n+29.【方法总结】等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.(2)利用性质巧解,观察等差
6、数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.【知识拓展】等差数列的常用性质{an}是公差为d的等差数列.(1)d==(m,n,k∈N*且n≠1,m≠k).(2)数列{λan+b}(λ,b是常数)是公差为λd的等差数列.(3)下标成等差数列且公差为m的项ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列.(4)若数列{bn}为等差数列,则{an±bn},{kan+bn}(k为非零常数)也是等差数列.(5)项数间隔相等或连续等长的项之和仍构成等差数列.【跟踪
7、训练】已知数列{an}为等差数列,且公差为d.(1)若a15=8,a60=20,求a105的值;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.【解析】(1)方法一:由题意得解得故a105=a1+104d=+104×=32.方法二:因为{an}为等差数列,所以d=,所以a105=a60+45×=32.方法三:因为{an}为等差数列,所以a15,a60,a105也成等差数列,则2a60=a15+a105,所以a105=2×20-8=32.(2)由a2+a3+a4+a5=34,得2(a2+a5)=34,所以a2+a5=17
8、.由解得或所以d==3或d==-3.【补偿训练】如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()A.14B.21C.28D.35【解析】选C.由等差数列的性质知,a3+a4+a5=3a4=1
