高中数学第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用用定积分求面积素材新人教A版选修2-2教案.docx

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1、用定积分求面积求平面图形的面积是定积分在几何中的重要应用.把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想.求解此类题常常用到以下技巧.一、巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便.2例1求抛物线y2x与直线yx4围成的平面图形的面积.解析：如图1,解方程组y2X,yx4得两曲线的交点为(2,2),(8,4).方法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即S22.2xdx，2xx4)dx333缶2

2、0->/2gx2

3、8-x2

4、24x

5、218.332方法二：选取纵坐标y为积分变量，则图中阴影

6、部分的面积可据公式求得，即41oy210S2y45ydy44yn「218.2226点评：从上述两种解法可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y积分时，积分函数应是x(y),本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为x；y2、xy4的形式，然后求得积分.另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.二、巧用对称性在求平面图形面积时，利用函数所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段.例2求由三条曲线y22.解析：如图2,因为yx2,

7、4yx2是偶函数，根据对称性，只算出y轴右边的图形的面积再两倍即可.x,4yx,y1所围图形的面积.22解方程组yX和4yxy1y13得交点坐标(1,1),(1,1),(2,1),(2,1).方法一：选择x为积分变量，则3i2x2S2x2—dx042x21—dx1413i2zx

8、0x13—x123方法二：可以选择y为积分变量，求解过程请同学们自己完成.点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度.三、分割计算2例3求由抛物线yx4x3及其在点M(0,3)和点N(3Q)处两条切线所围成的图形的面积.解析：由yx24x3,得y2x4,y

9、x04,

10、过M点的切线方程为y4x3;y

11、x32,过N点的切线方程为y2x6.3又可求得两切线交点的横坐标为x-,故所求面积2C32329S2(4x3)(x24x3)dx3(2x6)(x24x3)dx--024点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x轴垂线，将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法.3