高中数学第三册(选修Ⅱ)第3章导数(第9课时)对数函数和指数函数的导数(一).docx

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1、精品资源课题：3．5对数函数与指数函数的导数(1)教学目的：1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式.2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数教学重点：应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数．教学难点：对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运用.授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.常见函数的导数公式：C'0；(xn)'nxn1；(sinx)'cosx；(cosx)'sinx2.法则1[u(x)v(x)]'u'

2、(x)v'(x)．法则2[u(x)v(x)]u'x(v)x()ux(,v)[Cux(x)]Cu'(x)法则3u'u'vuv'(v0)vv23.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f((x))在点x处也有导数，且y'xy'uu'x或f′x((x))=f′(u)′(x).4.复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．二、讲解

3、新课：⒈对数函数的导数（1）：(lnx)'证明：∵yf(x)lnx1x欢下载精品资源∴yln(xxxln1(xx)lnxlnx)，x∴y1ln1(x)=1xln(1x)1ln(1x)xxxxxxxxxxy1x)x1xx1lne1∴y'limlimln1(xln[lim(1)x]．x0xxx0xxx0xxx即(lnx)'1．x1)x1附：重要极限lim(1e或lim(1x)xexxx02.对数函数的导数（2）：(logax)'1logaex证明：根据对数的换底公式(logax)'(lnx111)'lnaxloage．lnax根据对数函

4、数的求导公式以及函数的四则运算的求导法则、复合函数的求导法则，我们可以求一些简单函数的导数．三、讲解范例：例1求ln(2231)的导数．yxx解：y′=［ln(2x2+3x+1)］′=11(2x2+3x+1)′=4x312x23x2x23x例2求ylg1x2的导数．解法一：y′=(lg1x2)′=1lge·(1x2)′1x2lge·1·(1－x2)1lge1=2(1－x2)′=··(－2x)1x221x221x2xlgexlge=2x211x欢下载精品资源分析：对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进行求导解法二：∵y=lg1x21

5、lg(1－x2)2∴y′=［121122lg(1－x)］′=21x2lge(1－x)′lgexlge=2(1x2)·(－2x)=x21说明：真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导．实际上，解法1中ylgu，uv，v1x2，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中y1lgu，u1x2，仅有一次复合，所以其解2法显得简单，不易出错．例3求函数y=ln(x21－x)的导数.分析：由复合函数求导法则：y′x=y′u·u′x对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本初等函数.1(x21x)1[11解：yx2xx2(x21)22x1)1

6、1x21(x1)1xx211x2x21xx21x211xx21例4若f(x)=ln(lnx)，那么f′(x)

7、x=e=.(B)A.e1C.1D.以上都不对B.e解：f′(x)=［ln(lnx)］′=1·(lnx)′=1lnxxlnx1=1f′(x)

8、x=e=eelne例5y=ln［ln(lnx)］的导数是(C)欢下载精品资源A.1111B.lnxln(lnx)C.D.xln(lnx)xlnxln(lnx)ln(lnx)1解：y′=ln(lnx)11=·ln(lnx)lnx1［ln(lnx)］′=ln(lnx)·1=1xxlnxln(l

9、nx)1·(lnx)′lnx所以用复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止.例6求y=ln

10、x

11、的导数.1解：当x＞0时，y=lnx.y′=(lnx)′=；x当x＜0时，y=ln(－x)，y′=［ln(－x)］′=1(－1)=1，xx∴y′=1x错误方法：y′=(ln

12、x

13、)′=1，

14、x

15、可以看成ln

16、x

17、的中间变量，对

18、x

19、还要求

20、x

21、导.所以以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论.例7求y=loga1x2的导数.解：y′=(loga1x2)′=1logae·(1x2)′1x2loga

22、e11xlogae(1x2)22x1x221x2例8（仅教师参考）求y=x(lnx)n的导数.分析：这类函数是指数上也是含有x的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不通了.以前指数是常数的幂函数.像