高一数学应用举例及本章综合人教实验A版知识精讲.docx

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1、高一数学应用举例及本章综合人教实验A版【本讲教育信息】一.教学内容：应用举例及本章综合二.重点、难点：1.把实际问题抽象成为数学问题2.相关的最值问题【典型例题】[例1]△ABC中，sinBsinCsinA(cosBcosC)，（1）求A；（2）若S4，求证ABC周长不小于4(21)。解：（1）由已知bca(a2c2b2a2b2c2)2ac2ab∴2(bc)a2c2b2a2b2c2cb2(bc)bca2(cb)(c2b2)(bc)2bca2(cb)20a2(b2c2)∴RtABCA90（2）S1bc4∴bc82labcb2c2bc(bc)216(bc)bc(b

2、c)2(bc)24bc3242∴l16424(21)[例2]在⊙O中MN为直径，MN=2，A在MN延长线上NA=1，B为⊙O上一点，以AB为边向⊙O外作正△ABC，求S四OACB的最大值。解：设∠AOB为，[0,180]AB2OA2OB22OAOBcos用心爱心专心54cosSOAB1OAOBsinsin2SABC3AB2533cos4453sin3cosS四4532sin()435532∴6时，S四max4[例3]△ABC中，求证a2b2c243S。证：a2b2c243Sa2b2a2b22abcosC23absinC2(a2b2)4ab(1cosC3sinC

3、)222(a2b2)4ab4ab4absin(C)62(ab)24ab[1sin(C)]0∴a2b2c2643S[例4]在△ABC中，已知角B=45°，D是BC边上一点，AD=5，AC=7，DC=3，求AB。AC2DC2AD272325211解：在△ADC中，cosC2ACDC27314又0C180∴sinC5314在△ABC中，ACABsinBsinC∴ABsinCAC532756sinB142[例5]如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD=10，AB=14，∠BDA=60°，BCD=135，求BC的长。用心爱心专心解：在∠ABD中，设BDx，则BA

4、2BD2AD22BDADcosBDA即142x2102210xcos60整理得x210x960解之：x116，x26（舍去）由正弦定理BCBDsinCDBsinBCD∴BC16sin3082sin135[例6]如图，在山脚测得山顶仰角∠CAB=45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1000米至S点，又测得山顶仰角为∠DSB=75°，求山高。解：∵∠SAB=45°－30°=15°∠SBA=∠ABC－∠SBD=45°－15°=30°∴∠ASB=180°－30°－15°=135°在△ABC中，ASsin13510002/210002（米）AB1/2sin30∴BCABsi

5、n451000221000（米）2所以山高为1000米。[例7]如图，一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10千米，速度为180千米/小时，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过2分钟后又看到山顶的俯角为75°，求山顶的海拔高度。解：在△ABP中，∠BAP=30°，∠APB=75°－30°=45°AB1802660用心爱心专心根据正弦定理，ABBP，6BP2APBsinBAP，BP3sinsin45sin30BPsin7532sin(4533330)2所以，山顶P的海拔高度为h103331733（千米）22[例8]某巡逻艇在A处发现北

6、偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？解：在△ABC中，∠ACB=45°+75°=120°，AC=9设需要t小时才能追赶上该走私船，则AB=14t，BC=10t根据余弦定理，AB2AC2BC22ACBCcosACB(14t)292(10t)22910tcos12032t230t270解得t3233所以AB14，BC10211522根据正弦定理ABBC，2115sinACBsinsinBACBA

7、Csin120sinBAC530.618614BAC38.2145BAC83.21所以，此巡逻艇应该沿北偏东83.21方向去追，需要3小时才能追赶上该走私船。2[例9]如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30米至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进103米至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。解：在△ABC中，由∠BAC=∠ACD－∠ABC=2－=可得AC=BC=30在△ADC中，∠DAC=∠ADE－∠ACD=2用心爱心专心∠ADC=180°－4，AC=30，ADDC103根据正弦定理，CDACDACsinADCs

8、in1033030sin2sin(18