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时间:2021-05-12
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1、指数函数·例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域:1(1)y=32x(2)y=2x21(3)y=33x1解(1)定义域为x∈R且x≠2.值域y>0且y≠1.(2)由2x+2-1≥0,得定义域{x
2、x≥-2},值域为y≥0.(3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x
3、x≤2},∵0≤3-3x-1<3,∴值域是0≤y<3.【例2】指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]A.a<b<1<c<dB.a<b<1<d<cC.b<a<1<d<cD.c<d<1<a<b解选(c),在x轴上任取一点(x,0)
4、,则得b<a<1<d<c.【例3】比较大小:(1)2、32、54、88、916的大小关系是:.431(2)0.65(2)2(3)4.54.1________3.73.611234解(1)∵222,3223,5425,8828,91629,函数=2x,>,该函数在(-∞,+∞)上是增函数,y21又1<3<2<4<1,∴32<88<54<916<.38592241解(2)∵0.65>1,1>(3)2,241∴0.65>(3)2.2解(3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y1=4.5x,y2=3.7x的图像如图2.6-
5、3,取x=3.6,得4.53.6>3.73.6∴4.54.1>3.73.6.说明如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3).【例4】比较大小n1an与nan1(a>0且a≠1,n>1).n1an1an(n1)解an1n1当0<a<1,∵n>1,>0,n(n1)1∴an(n1)<1,∴
6、n1an<nan11>0,当a>1时,∵n>1,n(n1)1∴an(n1)>1,n1an>nan1【例5】作出下列函数的图像:(1)y=(1)x1(2)y=2x-2,2(3)y=2
7、x-1
8、(4)y=
9、1-3x
10、解(1)y=(1)x1的图像(如图2.6-4),过点(0,1)及(-1,1).221是把函数y=()x的图像向左平移1个单位得到的.解(2)y=2x-2的图像(如图2.6-5)是把函数y=2x的图像向下平移2个单位得到的.解(3)利用翻折变换,先作y=2
11、x
12、的图像,再把y=2
13、x
14、的图像向右平移1个单位,就得y=2
15、x-1
16、的图像(如图
17、2.6-6).解(4)作函数y=3x的图像关于x轴的对称图像得y=-3x的图像,再把y=-3x的图像向上平移1个单位,保留其在x轴及x轴上方部分不变,把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到.(如图2.6-7)【例6】求函数y=(3)x2-5x+6的单调区间及值域.43u解令u=x2-5x+6,则y=(是关于u的减函数,而2-5x)u=x4+6在x∈(∞,5]上是减函数,在x∈[5,∞)上是增函数.∴函数22y=(3)x2-5x+6的单调增区间是(∞,5],单调减区间是[5,∞).422又∵u=x2-5x+6=(x5)21≥1,2443)u,在u∈[
18、1∞)上是减函数,函数y=(,443)x2-5x+6的值域是(0,4108所以函数y=(].43【例7】求函数=(1x1)x+1(x≥0)的单调区间及它的最大值.y)(1142113,令=1解=x2xx2x,∵≥,y[()]()1[()]4u()x022222∴<≤,又∵=1x是∈,+∞)上的减函数,函数y=1)20u1u()x[0(u223在u∈(0,1]上为减函数,在[1,1)上是增函数.但由0<(1)x≤142222得x≥1,由1≤(1)x≤1,得0≤x≤1,∴函数y=(1)x(1)x+1单调增2242区间是[1,+∞),单调减区间[0,1]当x=0时,
19、函数y有最大值为1.【例8】已知f(x)=ax1(a>1)xa1(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的值域;(3)证明f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.解(1)定义域是R.af(-x)=axx1ax1=-f(x),1ax1∴函数f(x)为奇函数.(2)函数y=ax1,∵y≠1,∴有ax=1yy1>0x-1<y<1,a1y11y即f(x)的值域为(-1,1).(3)设任意取两个值x、x∈(-∞,+∞)且x<x.f(x)-f(x)121212axl1ax212(axlax2)xxx=axl1ax21=(axl1)(ax21),∵a>1,x1<x2
20、,a1<a2,(a1+1)(ax2+1
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