高一数学典型例题分析：指数函数.docx

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1、指数函数·例题解析【例1】求下列函数的定义域与值域：1(1)y＝32x(2)y＝2x21(3)y＝33x1解(1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．(2)由2x+2－1≥0，得定义域{x

2、x≥－2}，值域为y≥0．(3)由3－3x-1≥0，得定义域是{x

3、x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，∴值域是0≤y＜3．【例2】指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是[]A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜d＜cD．c＜d＜1＜a＜b解选(c)，在x轴上任取一点(x，0)

4、，则得b＜a＜1＜d＜c．【例3】比较大小：(1)2、32、54、88、916的大小关系是：．431(2)0.65(2)2(3)4.54.1________3.73.611234解(1)∵222，3223，5425，8828，91629，函数＝2x，＞，该函数在(－∞，＋∞)上是增函数，y21又1＜3＜2＜4＜1，∴32＜88＜54＜916＜．38592241解(2)∵0.65＞1，1＞(3)2，241∴0.65＞(3)2．2解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.1＞4.53.6，作函数y1＝4.5x，y2＝3.7x的图像如图2．6－

5、3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6∴4.54.1＞3.73.6．说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例2中的(3)．【例4】比较大小n1an与nan1(a＞0且a≠1，n＞1)．n1an1an(n1)解an1n1当0＜a＜1，∵n＞1，＞0，n(n1)1∴an(n1)＜1，∴

6、n1an＜nan11＞0，当a＞1时，∵n＞1，n(n1)1∴an(n1)＞1，n1an＞nan1【例5】作出下列函数的图像：(1)y＝(1)x1(2)y＝2x－2，2(3)y＝2

7、x-1

8、(4)y＝

9、1－3x

10、解(1)y＝(1)x1的图像(如图2．6－4)，过点(0，1)及(－1，1)．221是把函数y＝()x的图像向左平移1个单位得到的．解(2)y＝2x－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2x的图像向下平移2个单位得到的．解(3)利用翻折变换，先作y＝2

11、x

12、的图像，再把y＝2

13、x

14、的图像向右平移1个单位，就得y＝2

15、x-1

16、的图像(如图

17、2．6－6)．解(4)作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7)【例6】求函数y＝(3)x2－5x＋6的单调区间及值域．43u解令u＝x2－5x＋6，则y＝(是关于u的减函数，而2－5x)u＝x4＋6在x∈(∞，5]上是减函数，在x∈[5，∞)上是增函数．∴函数22y＝(3)x2－5x＋6的单调增区间是(∞，5]，单调减区间是[5，∞)．422又∵u＝x2－5x＋6＝(x5)21≥1，2443)u，在u∈[

18、1∞)上是减函数，函数y＝(，443)x2－5x＋6的值域是(0，4108所以函数y＝(]．43【例7】求函数＝(1x1)x＋1(x≥0)的单调区间及它的最大值．y)(1142113，令＝1解＝x2xx2x，∵≥，y[()]()1[()]4u()x022222∴＜≤，又∵＝1x是∈，＋∞)上的减函数，函数y＝1)20u1u()x[0(u223在u∈(0，1]上为减函数，在[1，1)上是增函数．但由0＜(1)x≤142222得x≥1，由1≤(1)x≤1，得0≤x≤1，∴函数y＝(1)x(1)x＋1单调增2242区间是[1，＋∞)，单调减区间[0，1]当x＝0时，

19、函数y有最大值为1．【例8】已知f(x)＝ax1(a＞1)xa1(1)判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的值域；(3)证明f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．解(1)定义域是R．af(－x)＝axx1ax1＝－f(x)，1ax1∴函数f(x)为奇函数．(2)函数y＝ax1，∵y≠1，∴有ax＝1yy1＞0x－1＜y＜1，a1y11y即f(x)的值域为(－1，1)．(3)设任意取两个值x、x∈(－∞，＋∞)且x＜x．f(x)－f(x)121212axl1ax212(axlax2)xxx＝axl1ax21＝(axl1)(ax21)，∵a＞1，x1＜x2

20、，a1＜a2，(a1＋1)(ax2＋1