极限计算方法及例题.docx

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1、极限计算方法总结《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。一、极限定义、运算法则和一些结果1.定义：(各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述)说明：(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的b极限严格定义证明，例如：nimv-=0(a上为常数且理3x-1)=5Tmqn

2、=:存在？1；；中时；等等(2)在后面求极限时，(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。2.极限运算法则定理1已知limf(x),limg(x)都存在，极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有(1)lim[f(x)士g(x)]=A±B(2)limf(x)g(x)=AB(3)lim上凶=2,(此时需B#0成立)g(x)B说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时,不能用。3.两个重要极限..sinxd(1)lim=1x--°x11、x⑵xmo(1+x)=e；xi.m(1x)=e说明：不仅要能够运用

3、这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，精品资料作者简介：靳一东，男，(1964—),副教授。isin3x2x例如：lim=i,lim(i-2x)xQ3xx>0x3、w=e,lim(i+-)3=e；等等。x>：:x4.等价无穷小定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。定理3当xt0时，下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价，即有:x〜sinx〜tanx〜arcsinx〜arctanx〜ln(i+x)〜ex-i。说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)T0),仍有上面的等价3x22关系成立，例如：当xt0时，e-

4、i〜3x；ln(i—x)〜-x。定理4如果函数f(x),g(x),fi(x),gi(x)都是xtx。时的无穷小，且f(x)fi(x),g(x)〜gi(x),则当lim-x冰0fi(x)gi(x)存在时「f(x)lim—也存在且等于Jx0g(x)f(x)m2x>x°gi(x)g(x)x>x0gi(x)5.洛比达法则定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时，函数f(x)和g(x)满足：(1)f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大;(2)f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0;(3)f(x)lim——存在(或是无穷大)；g(x)则极限lim工(

5、x)也一定存在，且等于lim-f-(x),即g(x)g(x)lim起,lim小g(x)g(x)说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足,只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限精品资料是否为“0”型或苣”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以0知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。5.连续性定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果Xo是函数f（x）的定义去间则有limf(x)=f俄)。x>x06.极限存在准则定理7（准则1)单调

6、有界数列必有极限。定理8（准则2)已知{Xn},{yn},{Zn}为三个数列，且满足:(1)yn工Xn1(x-1)(x3x12)x13x-3(x-1)(.3x12)注：本题也可以用洛比达法则。例2limn(、n2-.n-1)n—)：：解：原式=网哗『山"分,以n一；n2.n-1lim

7、n121-1nn(-1)n3n例31nm2n3n精品资料上下同除以解：原式=lim-n武1n(--)1—-1。守132.利用函数的连续性(定理6)求极限12_x例411mxeX—212x，解：因为xo=2是函数f(x)=xe的一个连续点,1所以原式=22e2=4je。3.利用两个重要极限求极限例5limx_01—cosx3x22.1例8limxsin一x*x精品资料2.1例8limxsin一x*x精品资料2x2x2sin一2sin-2..21解：原式=lim/=lim二一x>03x2…x2612(2)注：本题也可以用洛比达法则。2例6lim(1一3sinx)x

8、x—01解:原式=xm0(1-3sin