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《2017年全国高中数学联赛A卷试题和答案(word精校版).docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2017年全国高中数学联赛A卷一试一、填空题1.设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x3)f(x4)1.又当0x7时，f(x)log2(9x)-Uf(100)的值为.22.右头数x,y满足x2cosy1,贝Uxcosy的取值氾围是.22一xy3.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为：———1,F为C的上焦点，A为C的910右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥PA
2、BC中，AB1,AP2,过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所成角的余弦值为.6.在平面直角坐标系xOy中，点集K(x,y)x,y1,0,1.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为55的概率为.7.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若A—,ABC的面积为3J3,则AMAN的最小值为.8.设两个严格递增的正整数数列an,bn满足：a10b102017,对任意正整数n,有an2an1an，bn12bn,则a〔b1的所有可能值为.二、解答题9.设k,m为实数，不等式x2kxm1对
3、所有xa,b成立.证明：ba2<2.10.设XI,x2,x3是非负实数，满足XIx2x31,求(XI3x25X3)(XI~x23)的最35小值和最大值.11.设复数Zi,Z2满足Re(Zi)0,Re(Z2)0,且Re(z；)Re(z2)2(其中Re(z)表示复数z的实部).(1)求Re(ZiZ2)的最小值;(2)求Zi2Z22ZiZ2的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试.如图，在ABC中，ABAC,I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆以I为圆心，IB为半径作圆2,过点B,I的圆3与1,2分
4、别交于点P,Q(不同于点B).设IP与BQ交于点R.证明：BRCR三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相ann,ann,2C、、._>22017二.设数列an定义为a11,an1ann,ann,n1,2,.求满足arr3的正整数r的个数.邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设m,n均是大于1的整数，mn,a1，a2,,an是n个不超过m的互不相同的正整数,且a1，a2,,an互素.证明：对任意实数x,均存在一个i(
5、1in),2Ilaix-------------x，这里y表示实数y到与它最近的整数的距离m(m1)2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.答案：--7解：由条件知++=-------------=f(JC)»所以/(t+7)“一10仍=〃-]00+14x7)二。(-2)=--1-=-—^—=-1.】口第422.答案士[-1,+1]*由于1Zcos.vel1.3卜拓门-氏6〉1由―上可知.H—,J-lr1.因此当J=_[时..222F—8号•有最小值N这时产可以取三卜当V-6时,AIS「有最大值4.1
6、Ti*心(这时),可以取77〉.由于一：的宣域是:—1.Ji+口.取汇H—COS丁的取值范围是3.蟀易知力⑶0),F(0,l).设P的坐标是Rg与仇MsinJh8€虫],则I-II5",二一，3Wl0鼠Ii
7、・WQN@JUrE1-%.■=—(V10cos£lIsin//)=54.其中:；i「m当凯匚山】J]()时，四边形。以尸尸而枳的最大值为WF74.答案,75.解！考虑平稳数嬴.若b=0,则口=我曰a1》，有2个平稳数.若h=3则口wHQyW攸L21有2x3=6个平稳数，S2<»<8f则/CW伊・L瓦
8、5+1}.有7x3x3=63个平稳数.若b=9］则白,cw{8,9},有2犬2=4个平稳数r综上可知，平稳数的个数是2十6十的一4=75.5.：答案*A"-IC-K(cosZAAR-ikiTsfC解士设H用尸匚的中点分别为乩Af,则易证平而48H就是平面n.由中线长公式知枝梭尸r与平面门听成角的余弦值为辿.106.心44答案:—.烽易知长中有9个点1鼓在K中随机取出三个点的/二心方式数为C=84种.*』*将大中的点按右图标记为“甘儿,…,儿，。，其中有g.一..s对点之间的而寓为质.由对称性.考虑取44
9、两点的情-'况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7乂8=56个三点小，组1不计每组中三点的次序）.对每个用。=12…，助，K中恰有4卬/一两点与之距密为右（这里下标按模2理解工因而恰有3,4/4/（公1,2,…闾这8个三点组被计了两次.从而演足条件的三点组个数为56-8=48,进而所求概率为竺=±8477.答案：W
10、N译由条件知,JW--ij/i-bJC'Sjv--jet故2'’44IfI'ff'I™j[Af-H/V--1AB
