2017年全国高中数学联赛a卷试题和答案(word精校版)

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1、2017年全高中数学联赛A卷一、填空题1.设/（兀）是定义在/?上的函数，对任意实数x有/（兀+3）・/（兀一4）=一1.又当0SXV7时，/（x）=log2（9-x）,则/（-100）的值为.2.若实数满足F+2cosy=1，则%-cosy的取值范围是.223.在平面直角坐标系xOy^,椭圆C的方程为：Z+2L=i,F为C的上焦点，A为C的910右顶点，P是C上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为.4.若一个三位数屮任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是5.正三棱锥P-ABC中，AB=1,AP

2、=2,过AB的平面a将其体积平分，则棱PC与平面a所成角的余弦值为・6.在平面直角坐标系兀Oy中，点集K=｛Cr,y）卜,y=-l,0,l｝.在K中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为石的概率为.7.在ABC中，M是边BC的中点，7V是线段的中点.若Z/l=-,ABC的面积为3V3,则而•尿的最小值为.&设两个严格递增的正整数数列仏｝,｛仇｝满足：6/10=/710<2017,对任意正整数”，有an+2=an+i+an,htl+]=2bn,则ax+勺的所有可能值为.二、解答题9•设人血为实数，不等式x1-kx-m<1对所有xg

3、成立•证明：b-a<2迈.10•设兀“2,兀3是非负实数,满足兀1+兀2+兀3=1'求（X]+3兀2+5x3）（%!+专■+的最小值和最大值・11・设复数zpz2满足Re(z1)>0,Re(z2)>0,且Re(z；)=Re(z；)=2(其中Re(z)表示复数z的实部).(1)求Re(ZjZ2)的最小值;(2)求Z]++z?+2—Z]—z?的最小值.2017年全国高中数学联赛A卷二试一.如图，在ABC中，AB=AC,/为ABC的内心，以A为圆心，为半径作圆口,斤=1,2,….求满足％.

4、的圆口与口，厂2分别交于点只0(不同于点B).设/P与B0交于点/?.证明：BRA.CR二设数列｛。“｝定义为®=1,an+i=，的正整数尸的个数.三.将33x33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设加，〃均是大于1的整数，m>n,是斤个不超过加的互不相同的正整数,且％勺，…,色互素•证明：对任意实数兀，均存在一个,使得这里y表示实数y到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.答案,・2解：由条件

5、知，f（x+i4）=—!——=r（x），所以/（.X+7）八/(5)f(-100)=/(-100+14x7)=7(-2)=-2.答案：[—1,书+1]・解：由于x—12cosr€[1.故x€[JLIv:Ir-Ir由cosr-——可知「丫cosv-rl）:】•因此当丫=1时,厶—厶Aco、「有最小值[〔这时y可以取二）：当V—y[y时，cosr有最大值点I2（这时》可以取7T）.由于^（x+l）'—1的值域是[-1,馆+l],从Tfcx-cosV的取值范围是[-1,73+1]・3.答案:乎'、解：易知上（3,0）,F01）・设P的坐标是（3

6、cos0,0,壬，则S,怦一］m()sin〃丨［mos"—J—-('；IOcosM

7、sinf/)=^^^sin(0+卩)・c2其中yarctan如.当〃=毗皿币时，四边形04尸尸面积的最大值为出叵.答案：75.解：考虑平稳数赢.若b=09则a=l,c€{O,l},有2个平稳数.若方=1,贝IJa€{l,2},c€{0,1,2},有2x3=6个平稳数.若2008,则a,cWS-iy+1}，有7x3x3=63个平稳数.若方=9,则a,c€{&9},有2x2=4个平稳数.综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=75・5.答嶷逹.10解：1H

8、AB.PC的中点分別为K,M,则易证平而就是平面a・由中线长公式知所以KM=JaW-AK?=y/52U..6.又易知直线尸C?在平面O•上的射影是直线MK,而GM=1,=f，所以■c°sZg型迟竺上1KM-MC<5故棱PC与平而Q所成角的余弦值为也.104_川10答案：y.解：易知K中有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C；=84种.将K中的点按右图标记为4,4，・・・，人0，其中有8对点之间的距蔑为由对称性，考虑取.4,&两点的情况，则剩下的一个点有7种取法，这样有7x8=56个三点组（不计每组中三点的次序）.对每个40=1,2,

9、…,8）,K中恰有4-两点与之距黑为据（这里下标按模8理解），因而恰有{4,4亠4』（f=1,2,・・•,&）这8个三点组被计了两次•从而满足条件的三点组个数为筈"碱进而所求概率为詈=老答案：