2013年高考数学热点专题专练9-22三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题理.docx

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1、高考专题训练(二十二)三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题5inx—cosxgin2xsinx时间：45分钟分值：50分1.(2012•北京)(12分)已知函数f(x)=(1)求f(x)的定义域及最小正周期;(2)求f(x)的单调递增区间.解(1)由sinxwo得xwkjt(kCZ),故f(x)的定义域为{xCRxwkjt,kCZ}.因为f(x)=5inx—cosxsin2xsinx=2cosx(sinx—cosx)=sin2x—cos2x—1=逸in?x—41,~i一rr27t所以f(x)的最小正周期T=2Y=兀.(2)函数y=si

2、nx的单倜递增区间为2ku--2,2kjt+~(kJ).,.兀兀.兀..一由2k兀-2-w2x——w2卜兀+~2-,xwkTt(keZ),得k兀一?wxwk兀+^xwkTt(kCZ).88所以f(x)的单调递增区间为卜兀彳，kJ口卜，卜兀+8兀(kJ).2.-8--8-E是BC的中点,(2012•湖北)(12分)如图，已知正三棱柱ABC-ABG的各棱长都是4,动点F在侧棱CC上，且不与点C重合.(1)当CF=1时，求证：EF±AC;(2)设二面角C—AF-E的大小为。，求tan。的最小值.解解法一：过E作ENLAC于N,连接EF(1)如图①，连接

3、NF.AC,由直棱柱的性质知，底面ABCL侧面AC,又底面AB6侧面AC=AC且EN?底面ABC所以ENL侧面AC,NF为EF在侧面A1C内的射影.在RtACNE^,CN=CEos60=1.…CFCN1『一则由；得NF//AC,又AG±AC,故NFLACCCCA4由三垂线定理知EF±AC(2)如图②，连接AF,过N作NMLAF于M连接ME由⑴知EN1侧面AC,根据三垂线定理得EMLAF所以/EMt<二面角C-AF-E的平面角，即/EMN=0.设/FAC=a,则0

4、sina=3sina,故1加9=需£.又0/2=害.此时F与Ci重合.-8-解法二：(1)建立如图③所示的空间直角坐标系，则由已知可得A(0,0,0)，蜕2率，2,0),图③-8-Q040),Ai(0,0,4),E(03,0),F(0,4,1),————于是CA=(0,—4,4),EF=(->/3,1,1),则CA•EF=(0,-4,4)(-y/3,1,1)=0—4+4=0,故EF±AC(2)设CF=入，(0＜入W4),平面AEF的一个

5、法向量为m^(x,V,z),则由⑴得F(0,4,-8--8-入).AE=(木,3,0),AF=(0,4,入)，于是由rn±AE,n^ART得m-AE=0,[弧+3y=0,[4y+入z=0.取m=(43入，一入，4)又由直三棱柱的性质可取侧面AC的一个法向量为n=(1,0,0)，于是由0为锐角可得cos02>/入2+4，sin入+161163+3T2由0〈入＜4,11r一得一即tan入4故当入=4,即点F与点C重合时,tan0取得最小值-8--8-1.(2012•四川)(13分)-8--8-如图，在四棱锥P—ABC/，底面是边长为2。3的菱形，/B

6、AD=120。，且PANL平面ABCDPA=2#,MN分别为PRPD的中点.(1)证明：MM平面ABCD(2)过点A作AQLPC垂足为点Q,求二面角A—MIN-Q的平面角的余弦值.如图，在三棱锥P-ABC中，/APB=90°,/PAB=60°,AB=BC=CA平面PABL平面ABC(1)求直线PC1平面ABC/f成的角的大小；(2)求二面角B-AP-C的大小.分析本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力.对于(1),依据直线与平面所成的角的意义，确定相关直线在相

7、应平面内的射影，由此明确所求角的位置，再通过计算求出答案即可；对于(2),根据二面角的平面角的意义，借助于三垂线定理，构造出相关的二面角所对应的平面角，再通过计算求出答案.-8-AODB解解法一：（1）设AB的中点为D,AD的中点为。连结POPDCOCD由已知，△PAD为等边三角形.所以POLAD又平面PABL平面ABC平面PA的平面ABC=AD所以POL平面ABC所以/OC四直线PCW平面ABO成的角.不妨设AB=4,则PD=2,CD=2®OD=1,P0=木.在Rt^OC珅，C0="OD+CD=5.所以，在RtZxPOC3,tan/OCP=='

8、二CO1313故直线PC与平面ABO成的角的正切值为（2）过D作DaAP于E,连结CE由已知可得，CDL平面PAB根据三垂线定理知，CE