同济大学(高等数学)第十章重积分.docx

《同济大学(高等数学)第十章重积分.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第十章重积分一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数f(x)在区间［a,b］上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念.本章主要讲述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用^第1节二重积分的概念与性质1.1二重积分的概念卜面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义1.1.1.曲顶柱体的体积曲顶柱体是指这样的立体，它的底是xOy平面上的一个有界闭区域D,其侧面是以D的边界为准线的母线平行于z轴的柱面，其顶部是在区域D上的连续函数z=f(x,y),且分析这个问题，我们看到它与求曲

2、边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法(即分割、近似代替、求和、取极限的方法)来解决(图10-2).图10—2(1)分割闭区域D为n个小闭区域：二1,二二2，川，.-：^,45同时也用△藤示第i个小闭区域的面积，用d(A(r)表示区域Aq的直径(一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值)，相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.(2)在每个小闭区域上任取一点(1,4))III，(&，.)对第i个小曲顶柱体的体积，用高为f(E,“)而底为Ai盘平顶柱体的体积来近似代替.(3)这n个平顶柱体的体积之和n'、f[i,i)△二ii.1就是曲顶柱

3、体体积的近似值.(4)用法示n个小闭区域△iO■的直径的最大值，即X=maxd(Ap)当入t0(可理解为△«1-：:in收缩为一点)时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：——nV=lim%f(i,i).：,.—0ii1.1.2平面薄片的质量设薄片在xOy平面占有平面闭区域D,它在点(x,y)处的面密度是p={x,y).设Rx,y)a0且在D上连续，求薄片的质量(见图10-3).4545图10-3先分割闭区域D为n个小闭区域：二1,△二2,川，△二n在每个小闭区域上任取一点(1,4)(,理)III，(&，坤)近似地，以点(匕，胃)处的面密度《匕，书代替小闭

4、区域Aib上各点处的面密度，则得到第i块小薄片的质量的近似值为KW,司)A%于是整个薄片质量的近似值是nJ(i,i)△二ii1用X=maxd(A任展示n个小闭区域△P的直径的最大值，当D无限细分，即当1•工_n上述和式的极限就是薄片的质量M,即nM=limSK4i)Ap..抽象出来以上两个具体问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限就得到下述二重积分的定义.定义1设D是xOy平面上的有界闭区域，二元函数z=f(x,y)在D上有界.将D分为n个小区域:：1,二。2,

5、

6、

7、,：：；「n同时用Ai旅示该小区域的面积，记△浦勺直彳仝为d(A,)，

8、并令入=mgxd(Ap).在Aio上任取一点(工，“)，(i=1,2,川，n),作乘积45f(日,h、△①并作和式nSn=Ef(自，WAq.i1若入t0时，Sn的极限存在(它不依赖于D的分法及点("耳)的取法)，则称这个极限值为函数z=f(x,y)在D上的二重积分，记作JJf(x,y)d

9、直线(y=常数和x=常数)把区域D分割成小矩形，它的边长是Ax和勾，从而A(r=AxN,因此在直角坐标系中的面积元素可写成d仃=dxdy,二重积分也可记作nf(x,y)dxdy=limjf(；,)：二i.DLy有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函数z=f(x,y)在区域D上的二重积分V=口f(x,y)d。；D薄片的质量M是面密度p=p(x,y)在区域D上的二重积分M-P(x,y)d二.D因为总可以把被积函数z=f(x,y)看作空间的一曲面，所以当f(x,y)为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当f(x,

10、y)为负时，柱体就在xOy平面下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值.如果f(x,y)在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的，那么f(x,y)在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和^如果f(x,y)在区域D上的二重积分存在(即和式的极限(10-1-1)存在)，则称f(x,y)在D上可积.什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.如果f(x,y)是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则f(x,y)在D上可积.我们总假定z=f(x,y)在闭区域D上连续，所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的，以

11、后就不再一一加以说明.1.1.3二重积分的性质设二元函数f(x,y