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1、一、已知：如图AD为AABC的角平分线，DEIIAC,交AB于E.过E作AD的垂线交BC延长线于F,求证：(1)FA=FD(2)2分之一(/BAC+/AFC)=90°-ZB(1)因为DE
2、
3、AC所以/8=72,因为AD为△ABC的角平分线，所以/1=72所以/8=/1;又因为EF是AD的垂线，所以/EGD=/EGA=90;EG为公共边，所以△EGD^AEGA;所以/3=Z4,EA=ED,EF为公共边，所以△EFD^AEFA;所以FA=FD(2)因为/B=180°-/BEF-/BFE;/BEF=/3+/7=/3+/1+/2=90°-/8+/1+/2;又因为D
4、EIIAC所以/8=Z2,所以/BEF=/90°-/1=90°+1/2/BAC;由第(1)问已证出^EFDEFA,所以/BFE=1/2/AFC;所以/B=180°-/BEF-/BFE=180-(90°+1/2/BAC)-1/2ZAFC=90-1/2ZBAC-1/2/AFC所以1/2(/BAC+/AFC)=90°—ZB.二如图①，将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开，得到4ABD和在CF,固定那BD,并把zABD与z^ECF叠放在一起。(1)操作：如图②，将^ECF的顶点F固定在zABD的BD边上的中点处，LECF绕点F在BD边上方左右
5、旋转，设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合),FE交DA于点G(G点不与D点重合)，求证：BHGD=BF2;(2)操作：如图③，4ECF的顶点F在9BD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合)，且CF始终经过点A,过点A作AG//CE,交FE于点G,连接DG,探究：FD+DG=,请予证明图①明②图③解：(1)二.将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开，，/B=/D,•DGDF・•・将在CF的顶点F固定在4ABD的BD边上的中点处，AECF绕点F在BD边上方左右旋转,.•.BF=DF,-.ZHFG=ZB,../GFD=ZBHF,•••旭F
6、HsRGF,即BHGD=BFDF,，BHGD=BF2;(2)BD,证明如下:•.AG//CE,，/FAG=/C,•.ZCFE=ZCEF,，"GF=ZCFE,，AF=AG,•••ZBAD=ZC,ZBAF=/DAG,X/AB=AD••.MBF^ADG(SAS),，FB=DG,•.FD+DG=BD」在三角形ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高AD的高BD设BD长为x,贝UCD长为（14-x）,ADA2=13A2-xA2=169-xA2vADXBC••.△ABD、^ACD均为直角三角形ADA2+BDA2=ABA2①（勾股定理）ADA2+CD
7、A2=ACA2②（勾股定理）由①、②得：ADA2=ABA2-BDA2③ADA2=ACA2-CDA2④把④代入③得：ABA2-BDA2=ACA2-CDA2•.13A2-xA2=15A2-（14-x）A2169-xA2=225-196+28x-xA2169-225+196=28x28x=140X=5•.ADA2=169-5A2=169-25=144•.AD=12四如图所示，在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,将矩形7&直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长.•.矩形沿直线AE折叠，定点D恰好落在BC边上的点••/AED^，AFE,AF=A
8、D直JABF,BF=AF2_AB2=100-64=36BF=6CF=BC-CF=10-6=4设CE=a则DE=EF=8-a在R3CEF中，EF2=FC2+EC2即：（8-a）2=16+a2即：4-a=1所以a=3即CE=3五以3,4,5为边长的三角形为直角三角形，称3,4,5为勾股数组，记为(3,4,5),类似地，还可得到下列勾股的数组(8,6,10)(15,8,17)(24,10,26)等。问：(1)请你根据上述四组勾股数的规律，写出第五组勾股数。(2)试用数学等式描述上述勾股数组规律。(3)请你证明你所发现的规律。答：(1)(35,12,37)(2)通
9、过观察我们发现勾股数组的每一组的第一个数，组成的数列，3,8,15,24,..…后一项与前一项的差所组成的新数列是首项为8-3=5公差为2的等差数列，所以勾股数组的第一个数可以写为n2+2n(n=1,2,3,..…)同样对于勾股数组的每一组的第二个数所组成的数列是首项为4公差为2的等差数列，这样勾股数列的第二个数就可以表示为2n+2.勾股数组的每一组的第三个数所组成的数列，5,10,17,26……后项与前一项之差所构成的新数列是首项为5公差为2的等差数列，所以有勾股数组的第三个数可以写为nA2+2n+2所以勾股数组可以写为(n2+2n,2n+2,n2+2n
10、+2)(3)证明；(n2+2n)2+(2n+2)2=nA4+4nA
