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1、等积法求三棱锥的体积【教师版】2014/10/14由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。例1例2.(2011佛山一中三校联考)如
2、图，已知三棱锥A—BPC中，APIPC，AC丄BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。(I)求证：DM/平面APC(H)求证：平面ABCL平面APC(川)若BC=4，AB=20,求三棱锥D-BCM勺体积.例2.解：(I)由已知得，MD是ABP的中位线MD//AP2分MD面APC,AP面APCMD//面APC…4分(n)PMB为正三角形，D为PB的中点，MDPB，-...5分APPB…6分又APPC,PBPCPAP面PBC•…7分BC面PBCAPBC又BCAC,ACAPABC面APC9分BC面ABC
3、平面ABCL平面APC-10分(川)•••MD面PBC，MD是三棱锥M-DBC的高，且MD=5.3…•11分又在直角三角形PCB中，由PB=10，BC=4,可得PC=2,2112分于是SBCD—SBCP=2/2?，13分21i_VDBCM=VmDBC—Sh10'、714分3(1)证明：BD平面SAC(2)问：侧棱SD上是否存在点E，使得SBBAD1200QBDACSBSD2、2.SA2AB2SB2,SA2AD2SD2SAAB,SAADABADASABDSAACABDBDACOOESBDOE//SBOESB//BA
4、D1200S1ABD—1ABADsin120°—22112221VASBDVSABD_SABDSA—322.3AB//ABaAC1ABCC1B1B1D1ABCDA333例3.(茂名2010二模)如图，在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中,SA=AB=2SBSD2J2.BDD1B1BDC1A1CABCDA'B'C'D'E,FAA',BB'B'D'EFA'B'//EFA'B'//平面D'EFB'D'EFA'D'EFA'HED'A'H平面D'EFA'H三ABCDA'B'C'D'BB'A'D'EFH平面A'D'GECC'D
5、'GD'GA'D'A'D'GEA'D'EDCC'D'D'GD'GA'D'GEA'D'ED'G215D'G辽42FD'GDCC'D'c32-QFH8FP//A'D'EPQA'E已知在棱长为D'G10是AB、CD的中点，求点B到平面AECF的距离。1113DD'FD'C'G1-44881的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别等积法VbAEFVFAEB3三、知识运用3AB,面SAD面ABCD,M是线段AD例1：如图四棱锥SABCD，ABAD,AB//CD,CD上一点，ABAM1,DMDC,SMAD.(1)证明：BM面
6、SMC⑵求点C到面SMB的距离。2EX1如图，（EFFHPBCS【解析】（（2）解:在边长为BCFHPBC1）证明：•••点B为圆的圆心又•••E是弧AC的中点，•••FC平面BDE,又BD平面FBD,又•••FD平面FBDAC为直径，•BCEB即BDEB平面BDE,•-FCEBFC平面FBD且BDFCC•EB平面FBD,•EBFDEB殳点B到平面FED的距离（即三棱锥BFED的高）为h.•/FC平面BDE,•FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形由已知可得BCa，又FB5a)2a22a在RtBD
7、E中，BD2a,BEa，故Sbde11…VFBDESBDEFC—33又•••EB平面FBD，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形，•••EF6a,DE.5a，在RtFCD中，FD1212,234.21VFBDEVBFED即—a2ha,故ha32321即点B到平面FED的距离为h4-2121备用题：1、四棱锥P-ABCD中，底面ABC［为直角梯形，PD底面ABCDPD=DC=BC亍AB=2,AB
8、
9、CD,AB(=90。，求点D到平面PAB的距离.2、四棱锥P-ABCD中，底面ABC助正方形，PA底面ABCDAB
10、=6，分别求点C与点D到平面PAB的距离.3、如图几何体是由正方体ABCD-AQD与四棱锥E-AiBQD组成，E为CC的延长线上一点，且EC=CC,AB=2,M为EB的中点，求点M到平面ACD的距离.4、如图BCD与MCDS是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCDAB平面BCD求点A到平面MC啲距离.C图55、圆锥PO如图5所示，图6是它的正(主)视图.已知圆0的直径为
