等积法求体积点到面的距离教师版.doc

《等积法求体积点到面的距离教师版.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、等积法求三棱锥的体积【教师版】2014/10/14由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。例11例2．（2011佛山一中三校联考）如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D

2、为PB中点，且△PMB为正三角形。（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；（Ⅱ）求证：平面ABC⊥平面APC；（Ⅲ）若BC＝4，AB＝20，求三棱锥D—BCM的体积．例2．解：（Ⅰ）由已知得，MD是ABP的中位线MD∥AP……………2分MD面APC,AP面APCMD∥面APC……………4分（Ⅱ）PMB为正三角形，D为PB的中点，MDPB，…………………5分APPB…………………6分又APPC,PBPCPAP面PBC……………………7分BC面PBCAPBC又BCAC,ACAPABC面APC………………9分BC面ABC平面ABC⊥平面

3、APC………………10分（Ⅲ）∵MD面PBC，MD是三棱锥M—DBC的高，且MD＝53…11分又在直角三角形PCB中，由PB＝10，BC＝4，可得PC＝221………12分1于是SS＝221，………………………………………………13分BCDBCP21V＝VSh107…………………………14分DBCMMDBC3例3．（茂名2010二模）如图，在底面是菱形的四棱锥S—ABCD中，SA=AB=2，SBSD22.（1）证明：BD平面SAC；（2）问：侧棱SD上是否存在点E，使得SB//平面ACE？请证明你的结论；0（3）若BAD120，求几何体A—SBD的体积。

4、2例3．解：（1）四棱锥S—ABCD底面是菱形，BDAC且AD=AB，又SA=AB=2，SBSD22.222222SAABSB,SAADSDSAAB,SAAD，又ABADA，2分SA平面ABCD，BD平面ABCD，从而SABD3分又SAACA，BD平面SAC。4分（2）在侧棱SD上存在点E，使得SB//平面ACE，其中E为SD的中点6分证明如下：设BDACO，则O为BD的中点，又E为SD的中点，连接OE，则OE为SBD的中位线。7分OE//SB，又OE平面AEC，SB平面AEC8分SB//平面ACE10分01013（3）当

5、BAD120时，SABADsin12022312分ABD222几何体A—SBD的体积为1123VVSSA32.14分ASBDSABDABD333点到面的距离一、知识点（求点到面的距离主要方法：）（1）直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作；（2）转移法：若直线AB//平面，则直线AB上任意一点到平面的距离相等；（3）等体积法：用同一个三棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的距离。二、基础热身1、在棱长为a的正方体AC中找出表示下列距离的垂线段:1直接法：（1）点A到面BCCB的距离；11（2）BD到面ABCD的

6、距离；11（3）点A到面BDDB的距离．11(4)求C到平面BDC的距离。AC113转移法：棱长为1的正方体ABCDA'B'C'D'中，E,F分别是棱AA',BB'中点，求点B'到平面D'EF的距离提示：因为A'B'//EFA'B'//平面D'EF，所以点B'到平面D'EF的距离即为点A'到平面D'EF的5距离。作A'HED'，证明A'H平面D'EF。A'H。5【活学活用】3、在棱长为1的正方体ABCDA'B'C'D'中,E,F分别为棱BB'和CD的中点,求点F到平面A'D'E的距离。提示：法一直接法：将三角形扩大到平行四边形，高FH平面A'D'GE。取CC'的中点G

7、，连接D'G、EG，过F作垂线FH⊥D'G。可以证得EG//A'D'，所以平面A'D'GE，即平面A'D'E。可以证得EG⊥平面DCC'D'，所以EG⊥FH由FH⊥D'G、EG⊥FH，EG∩D'G=G可知FH⊥平面A'D'GE4所以FH即F到平面A'D'E距离。21255根据勾股定理可以求得：D'G1()，D'G242又知：△FD'G的面积=S四边形DCC'D'-S△DD'F-S△D'C'G-S△FGC3211138351，FH。4488D'G