材料力学第6章 弯曲变形.ppt

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1、第6章弯曲变形6.1　引言6.2　确定梁位移的积分法6.3　确定梁位移的叠加法6.4　梁的刚度条件及合理设计6.5　简单静不定梁6.1引言1.工程中的弯曲变形问题工程中的很多结构或构件在工作时，对于弯曲变形都有一定的要求。一类是要求构件的位移不得超过一定的数值。例如行车大梁在起吊重物时，若其弯曲变形过大，则小车行驶时就要发生振动；若传动轴的弯曲变形过大，不仅会使齿轮不能很好地啮合，还会使轴颈与轴承产生不均匀的磨损；输送管道的弯曲变形过大，会影响管道内物料的正常输送，还会出现积液、沉淀和法兰联结不密等现象；造

2、纸机上的轧辊，若弯曲变形过大，生产出来的纸张就会厚薄不均，成为废品。另一类是要求构件能产生足量的变形。例如车辆钢板弹簧，变形大可减缓车辆所受到的冲击；又如继电器中的簧片，为了有效地接通和断开电源，在电磁力作用下必须保证触点处有足够大的位移。2.挠度、转角及其相互关系在平面弯曲中，梁变形后的轴线是位于纵向对称面内的一条连续光滑的平面曲线，称为梁的挠曲线，如图6－1所示。图6－1通常情况下，剪力对弯曲变形的影响可忽略不计。因此，即使是横力弯曲，梁的横截面在变形时仍保持为平面，且垂直于梁的挠曲线，“刚性”地绕中性

3、轴转过某一角度。由此可见，梁的变形可用横截面形心的位移及截面的角位移来描述。　　选取x－w平面坐标系。x轴沿梁变形前的轴线，向右为正，表示梁横截面的位置；w轴沿垂直于梁轴线的方向，向上为正，表示梁横截面形心的横向位移。横截面的形心沿w轴方向的线位移称为挠度，用w表示。不同横截面的挠度一般不同，挠度是坐标位置的函数，可表示为上式称为挠度方程。弯曲变形时，轴线位于中性层上，梁轴的长度保持不变，因此横截面的形心沿梁轴方向也存在位移，但在小变形条件下，横截面形心的轴向位移是二阶微量，远小于其横向位移，可忽略不计。

4、所以挠度方程也称为梁的挠曲线方程（或挠曲轴方程）。　　　　横截面的角位移称为转角，用θ表示。横截面的转角θ等于挠曲线在该截面处的切线与x轴的夹角，如图6－1所示。挠度的正负规定为向上为正、向下为负；转角的正负规定为逆时针为正、顺时针为负。工程中，梁的转角一般都很小，例如不超过1°（0.075rad），由图示几何关系可得（6－1）即在小变形情形下，梁的挠度对坐标位置的一阶导数等于转角。6.2　确定梁位移的积分法6.2.1　挠曲线微分方程由上一章知，用曲率表示的弯曲变形公式（5－1）为这一公式是在纯弯曲情况

5、下得到的，若忽略剪力对梁变形的影响，则此式也可用于一般横力弯曲，由于梁轴上各点的曲率和弯矩均是横截面位置x的函数，因而上式可写为（a）由高等数学知识可知，平面曲线上任一点的曲率为（b）将式（b）代入式（a）可得（c）式(c)称为挠曲线微分方程，是一个二阶非线性常微分方程。在小变形情形下，转角θ=(dw/dx)1，为一阶微量，(dw/dx)2为高阶微量,略去不计。式（c）可简化为（d）（6－2）式(6－2)称为梁挠曲线的近似微分方程。根据这个近似微分方程所得的解，在工程中，已足够精确。对于等截面梁，抗弯刚度

6、EI为常量，式(6－2)可改写为（6－3）图6－26.2.2积分法求梁的变形对式（6－3）积分一次，得转角方程为（6－4）再积分一次，得挠曲线方程为（6－5）式中C、D为积分常数。积分常数可利用梁的边界条件和挠曲线的连续光滑条件来确定。例如，在固定端处，横截面的转角和挠度均为零，即w=0,θ=0在铰支座处，横截面的挠度为零，即w=0中间铰链左右两侧截面的挠度相等，满足连续条件，即梁横截面的已知位移条件或约束条件，称为梁位移的边界条件。当弯矩方程需要分段建立时，各段梁的挠度、转角方程也将不同，但在相邻梁段的交

7、接处，左右两邻面应具有相同的挠度和转角，即应满足连续光滑条件,称为梁位移的连续光滑条件,可表示为一般来说，积分常数可由位移边界条件和连续光滑条件共同确定。当积分常数确定后，将其代入式（6－4）和式（6－5），即得梁的挠曲线方程和转角方程。这种通过两次积分确定梁位移的方法称为积分法。例6－1有一支承管道的悬臂梁AB（见图6－3）。管道的重量为W，梁长为l，抗弯刚度为EI，求梁的最大挠度和转角。图6－3解选取坐标系如图6－3所示。距梁左端为x处截面的弯矩为代入式（6－3），得挠曲线的近似微分方程为（a）将式（a

8、）积分一次，得（b）再积分一次，得（c）确定积分常数C和D的边界条件为：在固定端截面处，挠度和转角均为零。即将（b）、(c)两式代入，得将所得积分常数代入（b）、(c)两式，得到梁的转角方程和挠度方程分别为显然在自由端处转角与挠度最大，即当x=l时，得式中转角为负值，表示梁变形时B横截面绕中性轴按顺时针方向转动；挠度为负，表明B截面形心向下移动。例6－2简支梁AB受力如图6－4所示（图中a>b），梁的抗弯刚度EI