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1、球面坐标变换Q二f（x,y,z）dV=dQ二f（x,y,z）dV.V注：这里Q既代表一个所求的量，又代表该量的值由柱面坐标变换的根据，使我们想到若三重积分中，当被积函数含有”,z2时，联想到球面方程，我们有如下的球面坐标变换.1球面坐标系设M为空间一点，球球面坐标f//）规定如T下：'为原点到M点的距离，'是矢量0M与oz轴的正向所夹的角，，是过0Z轴及点M的半平面与包含正x轴的半平面ozx所成的角，'J的变化范围分别是图9-400岂二岂2二（或-7：7：），0^-，0空'—（如图9-40）.2、球面坐标变换从图上容易看出，点M的直角坐标（x,y,z）与球面坐
2、标L/,p）之间的关系为x^OMcos二sincos,Iy=OMsin二sinsin,z=pcos.AXpsin©下述三族曲面称为球面坐标系中的坐标曲面（?）一族中心在原点的球面'二仃（常数），即X?y2z?二ri2(??)一族顶点在原点而对称轴与0z轴重合的圆锥面i常数，即y2-z21ar2（???）一族通过oz轴的半平面即y=tan71i.若这三族坐标曲面把一个空间区域V分成几个小区域，这样得到的小区域中，有规则的小区域（如图9-41）的体积人V近似地为VABAD」'sin丁22=p2sin®也p也日人®=p2sin®ddd由于f(x,y,z)二f(sin
3、cos/sin,,sn,cos)由Q=f(x,y,z)dV，有VdQ二f(x,y,z)dV二f(sincos,sinsin，,cos)f(x,y,z)dV二f(sincos,sinsin=,cos:VV这就是三重积分从直角坐标变换为球面坐标的换元公式■球面坐标系中的体积元素为dV=?2sinddd,上式可化为先对'，再对'，后对；的累次积分来进行计算■我们还可以利用二次柱面坐标变换来证明球坐标变换公式■为了得到从直角坐标系的三重积分化为球坐标系的三重积分公式，只要从直角坐标化为球坐标■x=sincos,iy二sin，sin=,看作是两次直角坐标化为柱坐Z=Pc
4、os®.x=rcos71一i标y=rsin^Z=z・Z=cos,Ir=sin,的复合，于是由2证Q=Q得的结果，从直角坐标（x,y,z）,于是f(x,y,z)dxdydz二f(rcos,rsn,z)rdrd，dz.QQ再把(z,r广)看作直角坐标，而把C,/)看成对应的柱坐标，有f(rcos=,rsn,z)rdrd^dzQ二HJfsin^cos/sin®/cos2sin^d①d°Q从而利用直角坐标系的三角积化柱坐标系的三重积分得到从直角坐标系三重积分化为球坐标系数三重积公式为f(x,y,z)dxdydz=f(sincos,sinsi,cQQ当被积函数含有x^亍
5、z2，积分区域是球面围成的区域或由球面及围成的区域或其它在球坐标变换下区域用广表示比较简单时，用球坐标变换
