考研讲义[1]精品.docx

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1、高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数

2、列与级数的性质）arctanx—x1.lixln（12x3）^m0竺加二二（等价小量与洛必达）2x32•已知limsin6x3xf(x)求lim6f(x)x孚xX#x3x2lim解:x」0sin6xxf(x)6cos6xf(x)xy'3x2-36sin6x+2y'+xy''=limx_0-2163y''(0)0.y''(0)=726x-216cos6x3y''xy'''6f(x)2xy2（洛必达）2x2x)71x1)（重要极限）4•已知a、b为正常数，求!im（ax+bx-3解：令t=(-—)x,lnt=Jln(ax2xbx)-1n2]3limlnt=limx-(axlnabxx」0

3、x=0ax■bx3/2-t=(ab)3响弓吋（变量替换）5.li叫(cosx)ln(1x)1解：令t=(cosx)ln(1%),lnt=2ln(cosx)ln(1x)limlnt-lim皿x一0x一02x1^e4/22（变量替换）6•设f'(x)连续，f(0)=0,f'(0)=0，求liXx20f(t)dt,mx二1_0x2.f(t)dt（洛必达与微积分性质）7•已知f（X）二2ln(cosx)x,x^0

4、2.llmctgx()xY0sinxxX上2x0e丄dt3.lim-—=1x—°1-e」(洛必达或Taylor)(洛必达与微积分性质)第一讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导)会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题3应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率(半径)二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.y=y(x)由2yx-

5、評翼5决定，求dydx2.y二y(x)由山(x2y)二x3ysinx决定，求dy

6、^^=1dx解：两边微分得x=0时y‘=ycosx二y，将x=0代入等式得y=13.y=y(x)由2马=乂y决定，则dy

7、x^=(ln2-1)dxB.曲线切法线问题一:亠：/2■:_4.求对数螺线e在(，)=(e,/2)处切线的直角坐标方程。(eAx=ecos°解：」日j(x,y)〔圧兀/2=(°,e),y'bm2=一1y=esindU/2y_e=x5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=°的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在(6，f(6)

8、)处的切线方程。解：需求f(6),f'(6)或f(1),f'(1)，等式取x->0的极限有：f(1)=0解：需求f(6),f'(6)或f(1),f'(1)，等式取x->0的极限有：f(1)=0C.导数应用问题D.幕级数展开问题limf(1+sinx)_3f(1_sinx)X70sinxsinjim[f(1t)_f(1)3f(1-t)—f(1)]-』tt]=4f'(1)=8f'(1)=2y=2(x-6)6•已知y=f(X)对一切X满足Xf''(X)2x[f'(x)]2=1-e」.若f'(X0)=0(X0=0)，求(Xo,yo)点的性质。eX0」解：令X=x0代入，f''(x0)=—=x

9、0eX00,Xo0，故为极小值点。0,X0::0X37."6，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。解：定义域(-*,1)(1,:：)y'=0=驻点X=0及X=3y''=0=拐点x=0;x=1:铅垂；y=x・2:斜8•求函数y=(x-1)e%arctanx的单调性与极值、渐进线。2解：沪—e72arctan^-驻点x=0与x=—1，渐：y=e二(x-2)与y=x-21+xdx9.sin(x「t)dt二sinxdx01(x_t)2(2n」)sin(x-t