2021年高考数学解答题满分专练2.5 空间向量与立体几何（理）（解析版）.docx

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1、专题2.5空间向量与立体几何1．求空间中直线与平面所成角的常见方法（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值．2．利用向量求异面直线所成的角的方法设异面直线AC，BD的夹角为β，则cosβ＝．3．利用向量求线面角的方法：①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取

2、其余角就是斜线和平面所成的角．4．利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．1．如图，在四棱锥中，底面为正方形．且平面，M，N分别为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值．【试题来源】北京市顺义区2021届高三二模【答案】（1）详见解析；（2）．【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明；（2）首先建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角的向量公式求解．【解析】（1）连结，分别是的中点，，平面，平面，

3、平面；（2）如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的法向量，则，即，令，则，平面的法向量，则，所以与平面所成角的正弦值是．2．如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙．（1）求证：平面平面；（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值．【试题来源】三省三校“333”2021届高考备考诊断性联考卷（二）【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）取的中点为，连接，，证明，，即证平面，即证得面面垂直；（2）建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐

4、标，再计算平面法向量，利用所求角的正弦为即得结果．【解析】（1）如图，取的中点为，连接，．因为，所以．因为，，所以，同理．又，所以，所以．因为，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面；（2）如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，，，，，所以，．因为三棱锥和的体积比为，所以，所以，所以．设平面的法向量为，则，令，得．设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．3．如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为4的等边三角形，且平面平面，点为线段中点，点为上的动点．（1）若平面平面，求线段的长；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【试题来源】东北三省四城市联考

5、暨沈阳市2021届高三质量监测（二）【答案】（1）1；（2）．【分析】（1）方法一通过建空间直角坐标系来利用面面垂直，从而求出线段长度；方法二通过线面、面面关系的性质求得平面，进而解得长度．（2）建系后，通过直线与面的法向量的夹角来求得线面夹角．【解析】解（1）(法一)取中点，连接，．因为与都是正三角形，所以，又已知平面平面，所以平面．如图所示，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系．因为，边长为4，为中点，，，，设，则，，．设平面的法向．由，令，得，所以．设平面的法向量．因为平面平面，所以，即，解得，故线段的长为1时，则平面平面．(法二：同

6、一法)取中点，中点，连接，．因为为正三角形，为的中点，所以．因为，所以．又平面平面，所以平面．在平面中，作于点．因为平面平面，平面平面，所以平面．因为过平面外一点有且仅有一条直线垂直于已知平面，所以点与重合，即为所求点即当时，平面平面．（2）由（1）图所示，则易知，，，，，所以，设平面的法向量，又，则，令，可得．设直线与平面所成的角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．【名师点睛】建立空间直角坐标系的难点在于点坐标的准确求取，然后按照向量间的关系，转化为面面，线面关系．4．如图，在三棱柱中，．（1）证明：平面；（2）设点D为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

7、【试题来源】浙江省绍兴市2021届高三下学期一模【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据勾股定理逆定理可知，然后利用线面垂直的判定定理可知结果．（2）解法1通过作辅助线，找到直线与平面所成角，然后根据三角函数的知识进行求解即可；解法2利用建系，求得平面的一个法向量，然后按公式计算即可．【解析】（1）证明：如图，连接由，所以为等边三角形因为，所以，所以，又平面，所以平面．（2）解法1：如图，设E为的中点，连结，作于F．因为平面，，所以平面，又平面，所以．在中，，D为的中点，所以，又，所以平面．因为，所以平面，所以，因为平面，所以平面，所以直线与平面所

8、成角为．在中，，所以，所以．因此，直线