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1、第三章热传导方程的分离变量法数学物理方法MathematicalMethodinPhysics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全5第三章热传导方程的分离变量法第三草热传导方程的分离变量法引言上一章对弦振动方程为代表的双曲型方程进行了研究，它的研究包括从方程的导出到应用行波法。本章我们对抛物型方程以热传导方程为代表进行研究。复习：数理方程的导出步骤（物理模型定量化>数学模型）i建坐标系ii选物理量uiii找物理规律iv写表达式本章，我们先对热传导进行推导。3.1热传导方程3.1.1热传导方程的导出1.物
2、理模型截面积为Z均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求热量的流动。2.相关概念和定律i相关概念①热传导：由于温度分布不均匀产生的热传递现象。设热量：Q面积：S体积：V时间：t密度：「温度：T，②比热：单位物质，温度升高一度所需热量Q:VT③热流密度：单位时间流过单位面积的热量（Fourier实验定律）q=2U，'•:导热率tScn④热源强度：单位时间，单位体积放出的热量（热源密度）f二乂tV5第三章热传导方程的分离变量法i用到的物理学规律①Fourier实验定律（热传导定律）：当物体内存在温度差时，会
3、产生热量的流动。热流强度（热流密度）q与温度的下降成正比。即q-一八u0'••：热导系数（热导率），不同物质山不同，■.=■.x,u。对均匀杆是常数。负号表示温度下降的方向。分量形式：创cucuqx，qy八，qz:excycz一维问题：cuq-on①热量守恒（质量）定律：物体内部温度升高所吸收的热量（浓度增加所需要的质量），等于流入物体内部的净热量（质量）与物体内部的热源所产生的热量（质量）之和。3分析研究的问题：热流流动是由温差造成，设u为温度.已知：C,匚常数u=ux,t是一维问题4研究建立方程取X
4、轴与细杆重合，ux,t表示在x点t时刻的温度考虑任一X段在.：t时间热量情况①流入x面:At②流出X吠面:②热源产生：设有热源其密度为fx,t，杆内热源在x段产生的热量为Q3=fx,tAx=t③Cx段温度要升高」u所吸收的热量QQ二C‘Axu二C：x
5、
6、ux,t=t-ux,t④根据能量守恒定律流入x段总热量与Ax段中热源产生的热量5第三章热传导方程的分离变量法即C-Axux,t：=t；;「ux,t二■.uxx：=x,t；；-Uxx,tj
7、A.：tfA.：x「：t两边同除以X,t.：t—UX,tAtUxX
8、：x,t-Uxx,tri.fAx当二x>0,Lt>0时，CrUtiUxxfUt二DUxxf，同理，二维热传导方程为Ut-DUxxUyy=f三维热传导方程为Ut-DUxxUyyUzzf或q-D：u=f或ut-a^u=f3.1.2定解条件1•初始条件ux,0］：门ix2.边界条件提法有三种i第一类边界条件：直接给出物理量在边界上的数值（边界上各点的温度）ou0,t"t,ul,t=t5第三章热传导方程的分离变量法5第三章热传导方程的分离变量法£U点Xx出ii第二类边界条件：研究物理量在边界外法线方向上方向导
9、数的数5第三章热传导方程的分离变量法Ux(X,t)xd=Vi(t),Uxx』=V(t已知通过细杆端点的热量，特殊情形vt=0女口Uxl,t=0绝热条件。物理意义：把细杆端点x=l处的截面用一种定点绝热的物质包裹起来，使得在端点x=l处，既无热量流出去，又无热量流进来。iii第三类边界条件：物理量与外法向导数的线性组合。已知杆端x=1与某种介质接触，它们之间按热传导中的牛顿实验定律进行热交换，相应的边界条件为'Uxl,tul,t-vt，'■-:热导系数，':热交换系数介质通过边界按冷却定律散热：单位时间通
10、过单位面积表面和外界交换的热量与介质表面温度U边界和外界温度U:之差成正比。设比例系数为a，则-K—=a(u'边界-uj^n边界'_unu二u-vt如在x=l处，-'.uxl,tul,t-jt3.2混合问题的分离变量解3.2.1定解问题有界杆的热传导现象L2ut—au“=00cx<1.t>0*u(0,t)=0.u(l,t)=00u(x,0)=®(x)0^x兰丨其中'x为已知函数。分析：求解：第一步：分离变量ux,t=XxTti.设热导方程具有如下分离变量解(特解)5第三章热传导方程的分离变量法IHii.
11、将其代入泛定方程有1,T=—=--,其中■是常数。于是有a2TX"'2X+扎x=0,T+ahT=0iii由边界条件有当u0,t=0，则X0=0,当ul,t]=0，则XI]=0即本征值问题x"x=0X0=0XI=0第二步：求解本征值问题上章已经证明只有当■.0时，证本征值问题有非零解。i.Xx=Asin、、xBcos、、xi.由XWb=0.As“0X(I)=02#第三章热传导方程的分离变量法2#第三章热传导方程的分离变量法22n■:12,n=
