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《2021_2022学年新教材高中数学第2章函数4.1函数的奇偶性课件北师大版必修第一册.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4.1函数的奇偶性课标定位素养阐释1.理解奇函数、偶函数的定义.2.了解奇函数、偶函数的图象特征.3.掌握判断函数的奇偶性的方法,能够利用函数的奇偶性解决简单的问题.4.体会数学抽象的过程,感受直观想象在解决问题中的应用,培养运算能力以及逻辑推理能力.自主预习·新知导学一、奇函数和偶函数的定义【问题思考】试分别针对上述函数计算f(-x),并判断f(-x)与f(x)具有怎样的关系.提示:①④满足f(-x)=f(x);②⑤满足f(-x)=-f(x);③⑥既不满足f(-x)=f(x)也不满足f(-x)=-f(x).2.填空:(1)一般地,设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A
2、,且f(-x)=-f(x),那么称函数f(x)为奇函数.(2)设函数f(x)的定义域是A,如果对任意的x∈A,有-x∈A,且f(-x)=f(x),那么称函数f(x)为偶函数.(3)当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称f(x)具有奇偶性,奇函数和偶函数的定义域均关于原点对称.提示:根据奇函数的定义知,满足这两种对应关系的函数都是奇函数.二、奇函数和偶函数的图象特征【问题思考】1.下列函数图象中,关于y轴对称的有哪些?关于原点对称的呢?提示:①②关于y轴对称,③④关于原点对称.2.填空:(1)奇函数的图象关于原点对称,反之亦然.(2)偶函数的图象关于y轴对称,反之亦然.【思考辨析】判断下列说法
3、是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)奇函数的图象一定过原点.(×)(2)定义在R上的函数f(x),若存在x0,使f(-x0)=f(x0),则函数f(x)为偶函数.(×)(3)函数y=x2,x∈(-1,1]是偶函数.(×)(4)函数f(x)=x
4、x
5、是奇函数.(√)合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三判断函数奇偶性的两种常用方法:(1)定义法:①判断定义域是否关于原点对称;②判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立.(2)图象法:画出函数的图象,直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性.【变式训练1】判断下列函数的奇偶性:(2)f(x),g(x)是定义
6、在R上的奇函数,试判断y=f(x)+g(x),y=f(x)g(x),y=f(g(x))的奇偶性.∴函数f(x)的定义域为[-2,2),关于原点不对称.故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(2)∵f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,∴f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)],f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x),f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x)),∴y=f(x)+g(x)是奇函数,y=f(x)g(x)是偶函数,y=f(g(x))是奇函数.【例2】设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时
7、,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为.分析:根据函数的奇偶性,画出函数在区间[-5,0]上的图象,根据图象写出不等式的解集.解析:由题意,函数f(x)在区间[-5,0]上的图象与在区间[0,5]上的图象关于原点对称,画出函数f(x)在区间[-5,0]上的图象,观察图象,可得f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5].答案:(-2,0)∪(2,5]1.本例条件不变,试比较f(-1)与f(-3)的大小.解:由例2中图象可知,f(1)>0,f(3)<0,所以f(1)>f(3).又函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),f(-3)=-f(3),故f(-1)8、.2.若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,求不等式f(x)<0的解集.解:由于f(x)是偶函数,y轴右侧的图象已知,结合偶函数的图象关于y轴对称,画出y轴左侧的图象,如图所示.由图象知,x∈[-5,-2)时,f(x)<0;x∈(2,5]时,f(x)<0,所以f(x)<0的解集为[-5,-2)∪(2,5].巧用奇偶性画函数图象的步骤(1)确定函数的奇偶性.(2)画出函数在区间[0,+∞)(或区间(-∞,0])上对应的图象.(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在区间(-∞,0](或区间[0,+∞))上对应的函数图象.利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.【变
9、式训练2】如图给出了定义域为[-2,2]的偶函数y=f(x)的局部图象,试画出此函数在y轴左侧的图象,并写出f(x)>0的x的取值集合.解:因为偶函数的图象关于y轴对称,所以可得到此函数在y轴左侧的图象如图所示.由图象可知,当x∈[-2,0)时,f(x)>0;当x∈(0,2]时,f(x)>0.故使f(x)>0的x的取值集合为[-2,0)∪(0,2].【例3】已知函数f(x)为定义在区间[-2,2]上的奇函数,当x∈[-2
